1结构力学的三角形规则
对于结构力学的三角形规则，有的教材称之为三角形规律或三角形稳定性规则.
1.刘金春主编2008年版《结构力学》[1]：
三刚片规则：三刚片用不在一直线上的三个铰两两相联.
二刚片规则：两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆或三个既不全平行也不交于一点的三根链杆相联结.
二元体规则：在一个体系上增加一个二元体或拆除一个二元体，不改其几何不变性.
三个规则的实质是三角形规则，即三角形的三个边长一定，其几何图形是唯一确定的.
2.黄孟生编著2012年版《结构力学》[2]：
用三条线段AB、BC、CA作一三角形.由平面几何知识可知，用三条定长的线段只能作出一个形状和大小都一定的三角形，也就是说，由此得出的三角形是几何不变的.
3.胡卫兵、朱占元主编2016年版《结构力学》[3]：
三大基本规律可以看成一个规律：三角形规律（三刚片三铰，三铰不共线）.
4.宋非非、宋平主编2014年版《结构力学》[4]：
前述的二元体规则、三刚片规则和两刚片规则，其实质是一个规则，即三角形稳定性规则.
5.钱令希编1952年版《静定结构学》[5]：
铰接三角形本身是稳定的，这就是以后将叙述的桁架组织的基本原理.
以上可以得出如下结论：
1.三角形规律涉及到结构力学中的刚片、铰等概念，几何没有这些概念，因而其表述（三刚片三铰，三铰不共线）是力学结论而非所要溯源的几何原理.
2.三角形稳定性规则到底是什么呢？
人教版2013年版《数学》（八年级·上册）[6]有：三角形的形状不会改变，而四边形的形状会改变.这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.
显然，数学的这些结论是上述静定结构学结论“铰接三角形本身是稳定的”误传，即将“铰接三角形”“铰接四边形”省略为“三角形”“四边形”.但在逻辑上讲，这是典型跨学科偷换概念.即便如此，到底什么是三角形的稳定性，还是不知所云.并且从结构力学的角度来看，“四边形没有稳定性”是不成立的.
3.上述“用三条线段AB、BC、CA作一三角形”是平面几何的三角形的作图题；“三角形的三个边长一定，其几何图形是唯一确定的”是三角形的确定性命题.这就是结构力学三角形规则的几何原理.
4.静定结构学中的结构稳定和结构不稳定术语在后来的结构力学中，早已经被几何不变体系和几何可变体系所替代.其所孳乳出的所谓三角形稳定性规则没有科学意义.
5.即使由三角形规则、三角形规律、三角形稳定性规则这些称谓的不统一，就可以看出现今结构力学对于三角形规则认知的不确定，以至于不能统一规范，有可能影响到结构力学教学的健康发展.
2结构力学三角形规则的几何原理
人教版1955年版《平面几何》[7]有三角形的作图题：
作图题 已知三边，作三角形.
已知：线段a、b、c.
求作：△ABC,使它是三边分别等于a、b、c.
图1
作法：1.作BC=a.
2.以B为圆心，c为半径作弧.
3.以C为圆心，b为半径作弧,交前弧于A.
4.连结AB和AC.
△ABC就是所求作的三角形.
这里可以得出结论，已知三边作三角形，所求作的三角形只有唯一一个.于是得到了三角形的确定性命题，给定三边三角形唯一确定.
三角形的作图题，已知三边作三角形，以及其相对应的确定性命题，给定三边三角形唯一确定.此二者就是结构力学的三角形规则的几何原理.
三角形的确定性[8]：所给出的最少的已知边角条件能够使三角形唯一确定，这样的性质叫做三角形的唯一确定性，简称三角形的确定性.例如，给定两边及其夹角，则三角形唯一确定.给定两角及其夹边，则三角形唯一确定.
三角形的确定性属于图形实现问题.柳柏濂在《数学，棘手但很迷人》[9]提出了图形实现.数学上的图形实现问题，也就是，怎样用最少的条件确定一类图形的问题.
结构力学对于三角形规则始终在寻求合理的几何依据；有些是成功的，有些是不成功的，需要寻求统一的认知.
3铰结四边形所对应的四边形作图题
对于结构力学中的铰结四边形，也可以用对应的四边形作图题来分析.
已知：线段a、b、c、d.
求作：四边形ABCD和四边形ABC＇D＇,使它们的四边分别等于a、b、c、d.
图2
作法：1.作AB=c.
2. 以A为圆心，b为半径作弧.
3. 以B为圆心，a为半径作弧.在弧上任取两点C、C＇，并分别为圆心，d为半径作弧，交前弧于D 、D＇.
4. 连结BC、AD和CD；连结BC＇、AD＇和C＇D＇.
四边形ABCD和四边形ABC＇D＇是所求作的四边形中的两个.
结论：仅给定四边作四边形，并不是只能画一个，而是多个.也就是，仅给定四边，四边形不能唯一确定.相对应于结构力学的铰结四边形，则是几何可变体系.
若给定四边和一角，则四边形唯一确定.这是四边形的一个确定性命题.对应于相应的杆件结构，如果给定的角是“刚结”，那么这个角的两夹边就构成了折杆，其它未给定的角作铰结，这个四边形的杆件结构也是几何不变体系，但所依据的还是三角形规则.
4平面几何三角形的稳定性重建
几何没有所谓“木条、钉子”等元素，一旦使用这样的元素，必定会偏离几何本身的价值观.
几何同样没有铰、铰结点、刚结点等概念.我们可以提出旋转点、旋转角、链式多边形概念.空间上具有旋转特性的点，叫做旋转点. 可以采用圆心符号“⊙”来表示.顶点为旋转点的角，叫做旋转角.其角度不是固定不变的.
平面几何有关于角的另一个定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.可以认为旋转角和这个角的定义是一致的.
由端点为旋转点的线段组成的多边形叫做链式多边形[10].或者角度为旋转角的多边形叫做链式多边形.比如链式三角形、链式四边形、链式五边形等等.在所有的链式多边形中，只有链式三角形的形状是不变的. 链式三角形的这种性质叫做链式三角形的不变性.如下图3为链式三角形和链式四边形.
图3
结构力学一般不画出“铰”的图形，只是将桁架组织的结构图用计算简图替代. 图3链式三角形和链式四边形也可以作为结构力学的铰结三角形和铰结四边形，看起来形象简洁.这种图形设计旨在区分链式多边形和多边形.如果接受旋转角和角的定义是一致的这个观点，那么链式多边形可以省略铰的图形，与一般多边形图形无异.
5三角形的不变性
作图题 已知三边，作三角形.
已知：线段a、b、c.
求作：△ABC,使它是三边分别等于a、b、c.
图4
作法：1.作BC=a.
2.以B为圆心，c为半径作弧.
3.以C为圆心，b为半径作弧,交前弧于A.
4.连结AB和AC.
△ABC就是所求作的三角形.
给定三边三角形唯一确定.边长不变角度可变的多边形叫做链式多边形.在所有的链式多边形中，只有链式三角形的形状是固定不变的.这种性质叫做链式三角形的不变性.
链式三角形在结构力学中被称为铰接三角形，是桁架的基本结构.铰接三角形是几何不变体系，铰接四边形是几何可变体系.桁架结构具有节省材料设计轻巧等优点，广泛使用于各类建筑上.
参考文献：
[1] 刘金春主编.结构力学[M].华中科技大学出版社，2008.
[2] 黄孟生编著.结构力学[M].北京：中国电力出版社，2012.
[3] 胡卫兵，朱占元主编.结构力学[M].武汉：武汉理工大学出版社，2016.
[4] 宋非非，宋平主编.结构力学[M] .武汉：武汉理工大学出版社，2014.
[5] 钱令希编.静定结构学[M].中国科学图书仪器公司，1952.
[6] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.数学（八年级·上册）[M].人民教育出版社，2013.
[7] 人民教育出版社编.平面几何[M]. 人民教育出版社，1955.
[8] 张忠斌.三角形的确定性问题探究[J].中学数学(初中版)，2017(5).
[9] 柳柏濂.数学，棘手但很迷人[M].科学出版社，2012.
[10] 张忠斌.链式多边形与三角形的稳定性的理想模型[J].中学数学(初中版)，2018(1).
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