把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图1

Question

把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图1，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。 ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm 2 ，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值及此时剪掉的正方形的边长；如果没有，请说明理由。（2）如图2在正方形硬纸板上剪掉一些矩形（图2中阴影为剪去部分），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm 2 ，求此时长方形盒子的长、宽、高。

Answer 1

（1）①剪掉的正方形的边长为9cm。②长方形盒子的侧面积最大为800cm 2 。（2）剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。

试题分析：解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。 则 ，即 ， 解得 （不合题意，舍去）， ，∴剪掉的正方形的边长为9cm。 ②侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm， 盒子的侧面积为ycm 2 ，则y与x的函数关系为： ， 即  ，即 ， ∴x=10时，y 最大 =800。 即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm 2 。 （2）设剪掉的正方形的边长为xcm。 解得： （不合题意，舍去）， 。 ∴剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。 点评：本题难度中等，主要考查学生对一元二次方程解决实际问题知识点的掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握，注意培养数形结合思想，结合图像分析题意列方程。