在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于 A 、 B 两点。（1）求证：命题“如果直线 过点

Question

在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于 A 、 B 两点。（1）求证：命题“如果直线 过点 T （3，0），那么 ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

Answer 1

（1）设过点T(3,0)的直线 l 交抛物线 =2 x 于点A( x 1 , y 1 )、B( x 2 , y 2 ). 当直线 l 的斜率不存在时A(3, )、B(3,－ )，∴ 当直线l的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = k ( x －3),其中k≠0. 得 ky 2 －2 y －6 k =0,则 y 1 y 2 =－6. 又∵ x 1 = y 1 2 , x 2 = y 2 2 , ∴ = x 1 x 2 + y 1 y 2 = ="3." 综上所述, 命题是真命题. （2）逆命题是：“设直线l交抛物线y 2 =2x于A、B两点,如果 ,那么该直线过点T(3,0).”，假命题

试题分析：（1）设过点T(3,0)的直线 l 交抛物线 =2 x 于点A( x 1 , y 1 )、B( x 2 , y 2 ). 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x =3,此时,直线 l 与抛物线相交于A(3, )、B(3,－ )，∴ 当直线l的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = k ( x －3),其中k≠0. 得 ky 2 －2 y －6 k =0,则 y 1 y 2 =－6. 又∵ x 1 = y 1 2 , x 2 = y 2 2 ,  ∴ = x 1 x 2 + y 1 y 2 = =3. 综上所述, 命题“......”是真命题. （2）逆命题是：“设直线l交抛物线y 2 =2x于A、B两点,如果 ,那么该直线过点T(3,0).”…10分，该命题是假命题.  例如：取抛物线上的点A(2,2),B( ,1),此时 =3,直线AB的方程为 y =  ( x +1),而T(3,0)不在直线AB上. 点评：直线与圆锥曲线相交时，常联立方程组，整理为关于x的二次方程，利用韦达定理找到根与系数的关系，通过设而不求的方法转化所求问题；四种命题中原命题与逆否命题真假性一致，逆命题与否命题真假性一致