土壤水分特征曲线的测定

Question

如题所述

Answer 1

土壤水分特征曲线的测定在室内采用张力计称重法，用张力计（负压计）测定土壤负压h，用称重法测定相应的含水率θ，试验装置如图2.3.1所示。通过试验获得了主脱湿过程的实验数据，采用Van Genuchten（Van Genuchten，1980）模型来描述主脱湿曲线（MDC）（沈荣开1993），模型如下：

图2.3.1 试验装置示意图

土壤水盐运移数值模拟

式中：S为饱和度（表示孔隙被水充满的程度，等于水的体积与孔隙体积之比，cm³/cm³）；θ为含水率（cm³/cm³）；θ_r为残留含水率（cm³/cm³）；θ_s为饱和含水率（cm³/cm³）；h（h_H2O）为负压（cm）；α，n，m表示土壤水分特征曲线形状的参数。

Van Genuchten模型含有四个参数（即α，n，m（含 n），θ_r，θ_s），所以，计算较为复杂，但一般情况下，θ_r和θ_s可由室内外试验给出，这样，模型中只剩α和 n 两个参数（其中 m 可利用 m=1-1/n求得），为求出这两个参数，一般根据最小二乘原理，用实验数据拟合的方法确定（沈荣开，1987）。

1.线性迭代法（一参数迭代）

公式（2.3.1）可变换为：

土壤水盐运移数值模拟

由于负压h的绝对值为一正值，所以可用吸力代替（这里仍取为h，推导时去掉了绝对值符号）。将上式两边取对数得：

土壤水盐运移数值模拟

令

，b₀=nlnα，b₁=n，x=lnh，则上式变为一元回归模型：

y=b₀+ b₁x （2.3.4）

因此，可用求解一元回归方程的方法确定b₀、b₁，进而求出α、n：

，n=b₁，从而可得

。

具体计算时需要用迭代的方法来求解。首先给出初值m^（0），并将实测数据含水率θ、负压h代入求解回归方程的系数b₀、b₁，从而可求得第一次迭代值m^（1），再将m^（1）代入，得出第二次迭代值m^（2），……，依次迭代，直到第p+1次迭代与第p次迭代值之差的绝对值小于预先给定的常数e（e为一充分小的正数）为止。收敛标准（迭代控制）用公式表示如下：

土壤水盐运移数值模拟

满足收敛标准时，由第p+1次迭代求出的回归系数b₀、b₁，即可确定出参数α、n。

2.非线性迭代法（二参数迭代）

由Van Genuchten模型变形为

θ-θ_r=（θ_s-θ_r）［1 +（αh）ⁿ］^-m （2.3.6）

即

（θ_r-θ）+（θ_s-θ_r）［1 +（αh）ⁿ］^-m=0 （2.3.7）

将实测数据：含水率θ_i、负压h_i（i=1，2，…，N，N为观测点个数）代入上式得：

（θ_r-θ_i）+（θ_s-θ_r）［1 +（αh_i）ⁿ］^-m=ε_i（i=1，2，…，N）（2.3.8）

由最小二乘原理

土壤水盐运移数值模拟

令 z=E（α，m，n），z为α、n的二元函数，m为中间变量。求多元函数z的极值：

土壤水盐运移数值模拟

令

土壤水盐运移数值模拟

其中W、X为α，n的二元函数。

为了简化推导，求出W、X，令

θ_s-θ_r=θ₁

θ_i-θ_r=θ₂

（αh_i）ⁿ=x_i

推导时略去角标i，则

土壤水盐运移数值模拟

先求W：

土壤水盐运移数值模拟

因x=（αh）ⁿ，

，所以上式为

土壤水盐运移数值模拟

再求X：

土壤水盐运移数值模拟

所以

土壤水盐运移数值模拟

式（2.3.11）为一组非线性方程，非线性方程的求根可运用牛顿迭代法。牛顿迭代法其基本思想是：将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。其几何解释为，方程的根，用其切线方程的根来逼近，由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法。由牛顿法迭代公式（李庆扬、王能超、易大义，1991.9）：

土壤水盐运移数值模拟

改写为如下形式

Δxf′（x）=-f（x） （2.3.20）

对于多元函数，牛顿迭代公式可扩展为：

f′_x（x，y）Δx+f′_y（x，y）Δy=-f（x，y） （2.3.21）

则式（2.3.11）的牛顿迭代公式表示为：

土壤水盐运移数值模拟

也即

土壤水盐运移数值模拟

下面的任务就是求方程式（2.3.23）左端各偏导数项，根据多元复合函数的求导法则，首先求第一个方程各偏导数项。

土壤水盐运移数值模拟

考虑到

，则

土壤水盐运移数值模拟

所以

土壤水盐运移数值模拟

土壤水盐运移数值模拟

因为nln（αh）=lnx，所以上式

土壤水盐运移数值模拟

土壤水盐运移数值模拟

因为

，

，所以

土壤水盐运移数值模拟

则

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然后求式（2.3.23）第二个方程各偏导数项。根据二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，则

土壤水盐运移数值模拟

而

土壤水盐运移数值模拟

式（2.3.32）右端共有4项，需求4项偏导数。

第1项偏导数

土壤水盐运移数值模拟

因

，所以上式

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第2项偏导数

土壤水盐运移数值模拟

第3项偏导数

土壤水盐运移数值模拟

将

代入得

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所以

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第4项偏导数

土壤水盐运移数值模拟

综合上述4项偏导数得

土壤水盐运移数值模拟

令

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则式（2.3.40）简记为：

土壤水盐运移数值模拟

所有偏导数求出后，解方程组

土壤水盐运移数值模拟

得

土壤水盐运移数值模拟

迭代公式为

土壤水盐运移数值模拟

式中：p为迭代次数。

具体计算时，首先给出参数的迭代初值α^（0），n^（0），并由实测数据计算出相应的偏导数值，然后按照式（2.3.45）依次进行迭代。迭代控制标准为：

土壤水盐运移数值模拟

式中：e为给定的充分小的正数。满足上述迭代标准的α^（p+1）和n^（p+1）就是所求的参数α和n的值。

根据牛顿迭代法的局部收敛性，一般的说，牛顿法的收敛性依赖于初值的选择，如果初值偏离所求的根比较远，则牛顿法可能发散。为保证牛顿法的收敛性，首先用线性迭代法对参数进行估计，然后将线性迭代法估计的参数作为非线性牛顿迭代法的初值进行迭代。

3.土壤水分特征曲线测定结果

1998年10月于长江河口地区采集了 3 个土样，寅阳 1^＃（LXG-1）粉砂壤土（1998.10.23），大兴2^＃（STG-2）粉砂壤土（1998.10.24），兴隆沙1^＃（XLS-1）粉质粘壤土（1998.10.25），取样时均去除表土20cm。所取土样的机械组成见表2.3.1。土壤水分特征曲线的测定在室内采用张力计称重法，为了保证装土的初始含水率均匀、密度一致，土样经过粉碎和过筛（20目）处理，然后按一定的干容重装填土样，装好的土样经过充分饱和后开始脱湿试验，试验于1999年4月16日开始，5月15日结束，脱湿过程的实验数据见表2.3.2。

表2.3.1 土样颗粒分析结果（美国制）

表2.3.2 水分特征曲线实测数据

续表

根据实测数据，通过VB编程计算，运用线性迭代法得到的上述三个土样，寅阳1^＃（LXG-1）粉砂壤土，大兴2^＃（STG-2）粉砂壤土，兴隆沙1^＃（XLS-1）粉质粘壤土的Van Genuchten模型参数见表2.3.3。其拟合曲线见图2.3.2。

表2.3.3 水分特征曲线参数

图2.3.2 水分特征曲线

将这些参数代入 Van Genuchten模型，即可根据不同的负压值来计算其相应的含水率

土壤水盐运移数值模拟

对上式求导可得到容水度C（h）

土壤水盐运移数值模拟

如果已知饱和水力传导度K_s，还可得到Mualem模型（Mualem，1984）的非饱和水力传导度

土壤水盐运移数值模拟

根据长江河口地区土壤水分特征曲线的实测数据，选择VG（Van Genuchten）模型，用一个函数较好地描述了脱湿过程，比起用分段函数来描述，具有明显的优越性。通过计算表明，线性迭代法简单实用，同时也具有相当的精度，基本可以满足实际需要。本次试验由于没有电子天平，而使用普通天平（感量2g），因而给含水量的观测带来一定的误差，但通过实测值与计算值的比较含水率最大绝对误差小于2%。