过点B作BF⊥CD，过点P作DE的平行线交CD于点G，交BC于点H，交AB的延长线于点I，
连接EG，取AB的中点O，过点O作OJ⊥GI，以点O为圆心、OA为半径向下作半圆O。
依题意易知四边形ABCD是直角梯形，又因为BF⊥CD，所以四边形ABFD是矩形，
由tan∠C=2可知BF/CF=2，因为AB=DF=8，CD=11，
所以CF=11-8=3，则AE=AD=BF=6，因为DE∥GI，
易知四边形DEIG是平行四边形，在GI上的点均满足S△DEP=9，
则可知△DEG和△DEP是等底等高的三角形，有S△DEG=S△DEP=9，
即S△DEG=DG×AD÷2=DG×6÷2=9，算得DG=EI=3，
因为点O是AB中点，OA=OB=4，OI=OE+EI=AE-OA+EI=6-4+3=5，
由∠BAD=90°，AD=AE可知△ADE是等腰直角三角形，有∠AED=∠I=45°，
所以△OIJ是等腰直角三角形，易知OJ=IJ=5√2/2，
则OJ＜OB，所以半圆O与GH有两个交点（图中的点P和点Q），
因为OA＜AD，所以点P在四边形EBCD内，满足题意，
点P在半圆O上显然有∠APB=90°，sin∠90°=1，所以sin∠APB的最大值为1。
【满足题意的点P有两点，即点P和点Q，但是只要证明点P满足题意即可，
点Q在不在四边形EBCD内不影响结果（证明点Q比较麻烦）】
如图，理解题意后，利用正弦定理：2R=a/sinA，当AB确定时，R取极小值(相切)时sinA最大。
由已知条件，用切割线定理很方便计算得到切点到弦切线交点距离PG。则R=HG-PG可知。
代入可得：sinA=a/2R=4(5√2+3)/41
追问初中数学啊。。。
解题思路，先求出可以求出的边长，然后假设三角形APB是以∠P为直角的直角三角形，沿P点做AB边的垂线。
求出相应的值，再进行分析，锐角sin肯定小于1；直角，sin最大值为1.追问
这种思路考虑过，有点取巧的意思，因为这里如果角度大于90度，说明肯定最大值为1，但是如果不能大于90度，那岂不是求不出来