求微分和求导一样吗

Question

如题所述

Answer 1

1. 微分和求导并不完全等同，尽管在基础的一元函数微积分中它们可以视为等价的操作，但它们在不同的数学语境中有各自的侧重点和应用。
2. 微分的过程涉及使用线性函数来逼近原函数，这是一种具体的数学操作。而求导数则是指在给定点\( x_0 \)上，函数获得了一个新的值——即导数值\( f'(x_0) \)，这实际上定义了一个新的函数，即导函数。
3. 在一元函数中，可导和可微是等价的。可以说，微分是通过画出一条线性函数来逼近原函数，这条线性函数在点附近能较好地近似原函数；而求导数则是给出了这条线性函数的斜率。
4. 在多元函数中，可微的概念比可导强。如果一个多元函数在点\( (x_0, y_0) \)附近可以画出一个平面来逼近函数，那么这个函数在该点可微。这意味着函数在所有方向上都可导。但如果函数在某个方向上不可导，则在该方向上作为一元函数它也不可微，因此在该点整体上不可微。
5. 在多元函数中，如果函数在任何方向的偏导数都存在，并不意味着函数可微。偏导数仅描述了沿坐标轴方向的变化，而没有提供其他方向上的信息。因此，偏导数的存在并不足以保证函数的可微性。这表明，在多元函数的分析中，可微性的要求比可导性更为严格。