arctanx的导数是多少?

Question

如题所述

Answer 1

arctanx的导数是1/(1+x^2)。

首先，我们需要理解arctanx是什么。arctanx是反正切函数，它是正切函数tanx的反函数。正切函数tanx的定义是sinx/cosx，其中sinx和cosx分别是正弦函数和余弦函数。因此，arctanx可以看作是求解“哪个角的正切值等于x”的函数。

接下来，我们要求解arctanx的导数。根据反函数的求导法则，如果y=f(x)是可导函数，并且其反函数x=g(y)在对应区间内也是可导的，那么有：g'(y) = 1/f'(x)。在这个问题中，f(x)=tanx，其导数为f'(x)=(secx)^2，其中secx是余割函数，定义为1/cosx。因此，根据反函数的求导法则，我们有：arctanx的导数 = 1/((secx)^2） = 1/(1+tanx^2) = 1/(1+x^2)。

最后，我们可以通过一些例子来验证这个结论。例如，当x=0时，arctan0=0，而1/(1+0^2)=1，这符合我们的结论。当x=1时，arctan1=π/4（即45度），而1/(1+1^2)=1/2，这也符合我们的结论。因此，我们可以确信，arctanx的导数确实是1/(1+x^2)。