微分学和积分学
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
极限
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在Δ区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。
与实际应用联系
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
编辑本段定义
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 把区间[a，b]分成n个小区间 [x0，x1]，...[xn-1，xn]。 在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和 公式
如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作 公式
。即： 公式
。 牛顿-莱布尼兹公式图解
编辑本段微积分的本质
【参考文献】 刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，长沙：湖南科学技术出版社，2009
用文字表述
《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》封面
增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。
用式子表示
用式子表示微积分的本质
其实不然，这些只是表面现象，微积分没有这么罗嗦。只是有一个辩证法倒是真的，我本不想出手！算了！各位再等一些时间，中国科学院收到我的文章《微积分初等化的沉思！》后再出手。我相信就是小学生看了此文，对微积分真正的精要也能了解一些。 我姑且不谈微积分，就是函数只怕许多人都不知道其奥妙。好！为了不扫大家的兴，并且我既然来了，总得留点东西才是，读者能理解多少的就理解多少，不要勉强！今天你们看到的一切内容都是绝密的，或者说还在数学实验室里的东西，只有中科院才可能看到的东西。只不过我愿意开放一些出来！ 《微积分大意》 ——自然界与意识 数学可以作为自然科学的理想工具，在于这种工具可以较方便定量的处理自然界的问题。其中一些自然界的问题，常量数学是处理不了的，非用微积分不可。可是为什么常量数学不行，微积分就可以呢？多数人是回答不了的，就连数学家也不能很好的回答！许多学习微积分的初学者，不能理解微积分的方法。这是有原因的，因为他们的哲学基础薄弱，即使学过却也不理解。微积分不在于领悟极限的δ定义，微积分的出现本来就比极限δ定义至少早了150年呢！学习者其实应该反思，微积分比常量数学高明多少；什么样的方法研究自然界是有效的；对人的意识和自然界应该有什么样的态度！ 一、人的意识与自然界的辩证关系 马克思主义哲学告诉我们：自然界先于人和人的意识而存在；在人类出现之后，自然界的存在与发展也不依赖于人的意识。所以说，自然界的存在与发展是客观的。而意识的本质是：客观存在在人脑中的反映。自然界是客观的实体（世界是物质的），数学则是人类特有的一种思维方式（人的意识是对客观事物的反映）。二者的关系简单来说，就是物质决定意识！也就是说物质和意识是相互独立的；物质可以唯一，但意识却不是唯一的，有正确的意识和错误的意识之别。 数学不是单纯的数字游戏！是有应用价值的，体现在各类数学模型上。常量数学固然在17世纪以前发挥了一定作用，不过对于变量数学就不行了。因为常量数学的研究方法，过于侧重人的意识，不能很好的深入自然领域，而且是一种宏观（整体）上的方法。与自然界的联系是不紧密的，二者的关系比较松散（粗糙）；或者可以说没有抓住客观事物的本质，所以要处理许多的自然科学提出的问题是不可能的。 二、常量数学与自然界的辩证关系 常量数学——初等几何中没有定义“点”、“线”、“面”。同时按照运动观点有：点动成线，线运动成面、面动成体。用不可分量的集合论就是说：线是点的集合，面是线的集合等。而且不定义的“点”、“线”、“面”是经过抽象的，认为不具备自然属性，只有几何特性；然而自然界所有的“点”、“线”、“面”都是客观存在的，均具有自然属性。我在《数学哲学的自然原理》中提过： 定理I：一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换。 定理II：空间总能容纳物体且不受影响，并允许容纳物进行空间交换。 这两个定理是对绝对空间来说的，不是指相对空间；其实在爱因斯坦的理论准确一些，后面也是要说的。 提这两个定理是要指出，自然界确实找不到没有体积（不占据空间的）点、线、面。于是，初等几何和自然界就必然存在着矛盾。例如平面直角坐标系内的任意曲线（函数、方程）作为自然界的客观实体，元素（点的轨迹——集合）是实实在在的物质，是有长度的！可是有长度的点还是点吗？当然不是至少也会是线段，存在却不可度量！可见自然界的“点”不在人的意识定义范围之内（不可度量性）。这是算术与自然界的矛盾。这样就不能以（算术的度量尺度+初等几何）来描述了，因为无法描述非要描述呢话（点是没有长度的长度）！这是一个典型的罗素驳论：点是长度为0的长度或者点不是长度！到底是什么？这仅仅是表面现象，根本上还是说明了一种辩证关系：自然界是独立的，意识只是人脑的反映。 所谓罗素驳论，起源于19世纪的第三次数学危机，是关于数学基础的讨论（数学的基础是什么？）！简单的例子就是理发师驳论：某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸，试问？理发师给不给自己刮脸？ 如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他就是给自己刮脸的人，照他的要求又不能给自己刮脸。到底该不该自己刮脸呢？ 三、数学方法怎样处理自然界的客观问题 既然数学对象是自然界的客观实体，方法上就必须保持自然界的客观性是存在的，最终能够回归到自然界，不能停留在意识之上！例如：初等几何中的点、线、面抽象后否定了物质性，是脱离客观实体的客观性（世界是物质的）的，只具备几何特性；如果以它们这种非物质形态来研究真实的自然界肯定不行，因为已经脱离了自然界。可是自然界的客观实体确实是它们组成的，不可分量的集合论就指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点又承认了它们的（物质性）自然属性——这是整体上的认可。 整体上可以认可，部分当然也是可以认可的。但是部分（意识）是和自然界有矛盾的，对于部分常量数学，只承认几何性，没有认可自然性！因为它们不可度量，不在常量数学算术度量尺度体制之内。仅凭几何特性来研究自然界的客观实体——显然是脱离一定实际的。 所以需要它们能以真实的物质形态来研究自然界。因为它们的客观物质形态是逃逸出纯粹数学（其实是常量数学）的，所以要研究的问题最终必须逃逸出纯粹数学（常量数学）的体制，这样元素就实现了自然界的回归，于是整体必然也还原于自然界。逃逸就必然表现在逻辑矛盾之上，即与常量数学的思维上的逻辑矛盾！因为只有矛盾才能说明最终形态确实逃逸出了人的意识（初等几何+算术度量），反之没有矛盾就不能说回归了自然界！ 四、变量数学与自然界的辩证关系 变量数学的中心其实应该是函数。初等几何否定了点、线、面的物质性，只承认几何特性，是脱离客观实体的客观性的；集合理念则指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点承认了它们的自然属性——整体上的认可。而这种观点在逻辑上体现在函数身上，例如：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P={M|MC=r}隐函数表达式为：x^2+y^2=r^2。所以函数是对数学对象（物质性）的客观反映，在宏观（整体）上认可了自然属性；这样整体的微观部分具有的客观性也得到了认可，在研究函数的局部性质时，这种客观性就会表达出来。这也就是微积分所要反映的基本事实！ 只有承认了自然界客观性的数学，才具有研究自然界的能力。常量数学否定了自然属性——脱离了一定实际，这就限制了其自身对自然界的解决能力；这也就是常量数学与变量数学本质的地方，常量与变量只是一种数学形态的外在表现。我觉得赫曼·威尔在《数学哲学与科学哲学》中问的好：为什么大自然中的事件可由观察和数学分析（微积分）的结合来预言。因为数学分析，一开始就承认了自然界的客观性！正如马克思雄辩的回答那样：“意识能够正确的反映客观事物”。微积分离开了函数，就丢失了灵魂。笛卡尔的解析几何引入了变数，加深了函数的理念。有了函数才能真正的建立起微积分，牛顿——莱布尼兹公式深刻的反映了，自然界整体与局部的客观性的联系。 函数本身是一个自然界的微雕，通过数学分析研究函数就是在研究自然界微雕的局部性质。反过来研究自然界微雕的局部，在还原于函数又能整体上表达自然界（微分方程）。 五、微积分与自然界的辩证关系 微积分就是回归自然界的一种方法，它所有的最终形态（取极限），没有哪里是不存在矛盾的；什么贝克莱驳论、定积分0+0驳论、无穷级数芝诺的追击驳论……等。由于研究的基本都是自然界的客观实体（或规律）。所以微积分的精髓在于元素（体制外——微元）和驳论！就是要置常量数学于死地，从而回归自然的方法。也只有这样的方法才能研究自然界，可以说微积分是常量数学死亡后，浴火重生后的凤凰。 后来的极限论δ定义其实是在轻微的维护常量数学（人的意识），无穷级数也一样，有名的芝诺追击驳论（是违反客观自然规律的），但最终取极限就还原了自然真实。极限难！在于无法看透自然界与人的意识的辩证关系。一味的理解极限δ定义，次序颠倒，意而上学。从这里可以看出：微积分必定是要先于极限论建立，它的方法本质不在于建立δ定义，而在于回归自然界，极限则是其回归的常量数学逻辑表达形式（代言人）。所以极限论的出现是必然的，矛盾和驳论也是必然的！ 有这样的辩证关系，于是产生了一些有趣的现象：0/0=20（导数），0+0+…..0=1/3（定积分），1/2+1/4+1/8+…..=1。导数反映了自然界点的自然属性（有长度）；定积分反映了线段有面积，二重积分反映了线段有体积，二次积分后反映了平面有体积，无穷级数反映了追得上！然而这些真实的存在，却不可感知（不在初等几何之内），不可度量因为在体制（算术）之外。 七、无穷小与相对论 为什么同一条曲线，组成的元素都是点无差别的，为什么导数不同？0/0=1、0/0=2、0/0=100。首先函数代表曲线，曲线上的点都与x轴上的点一一对应（同样数目的点）；可是曲线的自然长度确与x轴对应的长度是不等的，所以曲线上的点在这种关系下一般不相同。在定积分中要注意这种相对关系，这也就是产生微元有无穷小和高阶无穷小的原因！ 六、微积分可以初等化的原因 微积分可以初等化，在于不可分量的集合论就指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点承认了它们的自然属性——这是整体上的认可。整体上把握并且在常量数学体制之内，避免了处理体制外的数学，绕开了矛盾和驳论！另一方面微积分本就不依赖于极限，所以也是可以绕开的。具体形式我不用看也猜得出来，用函数关系！这也就是其独到之处，不置常量数学于死地，仍然回归自然的方法。逻辑上确实清楚了，少了不少负担，有利于中国的数学教育。常量数学的方法体制不死，微积分也就初等化了。但却有代价，学习者可能在局部分析上的能力有所下降。 八、中西文化的差异 西方哲学家继承了古希腊哲学理性思维的传统，注重理性思辩和热衷于构建形而上学的理论体系，这种思维方式和习惯与高等数学的思维习惯是相似的。并且西方哲学理论和哲学观点多是建立在严密的逻辑推理和论证的基础之上的，即使是上帝的存在问题他们也要向对待数学问题那样试图用严密的辩证法和逻辑来给予证明。西方哲学家的这种注重推理论证和寻求因果联系的理性主义的思维习惯一旦与面向感性世界的经验主义和实验科学相结合将极大地促进自然科学的发展。 在对于微积分的研究上，西方数学家把眼光放在最细微的地方，虽然他们没有强调这一点，然微积分确实征服了“点”、“线”、“面”。这是一种“征服文化，”所以牛顿、莱布尼兹、柯西在这种文化的熏陶下，长时间内是不会也不可能去考虑：强可导函数的。 中国传统哲学自孔子以来就培养了一种深厚的“实用理性精神”，总是同做人即人格修养联系在一起，因此有关人性论和修养论的内容最为丰富。哲学家提出任何一种学说都要说明它对做人的意义，都要满足为政治实践和道德实践服务的现实需要，这种纯功利主义的思维方式和习惯与西方哲学本身所固有的为学术而学术的思维方式和习惯是大相径庭的，与要求严密推理和论证的数学思维方式也是格格不入的。这种思维方式和习惯不利于或者说阻碍了近代自然科学在中国的兴起和发展。 强可导函数，整体上暗中回归了自然界，这种方法维护人的意识（常量数学）比极限论要强烈的多。逻辑思维上较简单没有了驳论和矛盾，有利于学生偷懒。西方的微积分方法，侧重于了数学与自然界最终的和谐与统一；中国的初等化微积分侧重于数学与人的和谐统一。西方为了研究自然界，牺牲初等数学（意识）了为代价，体现了对自然界的热爱和尊重。中国的初等化微积分，体现了以人为本的理念。 学习西方哲学，改造中国传统哲学的思维方式和习惯，养成一种与数学思维方式相似的注重严密推理和论证的思维方式和习惯，对于促进我国科学技术的发展是大有裨益的！所以我觉得即便学了初等的微积分，还是有必要重新学极限论的微积分。这不是麻烦，而是思维的转型。中学一次，大学再学一次！就怕我们的学生，觉得强可导简单，对西方微积分有抵触情绪，不愿意接受。最好是中西结合，最终的道路都是殊途同归，不可厚此薄彼。 《微积分大意部分简单说明》 一、部分马克思主义哲学的简单内容 一、哲学的“哲”的源学含义 英语 philosophy Philos （爱） Sophia（智慧） 汉语，中国古代的“哲”字，就是智慧的意思，经日本学者西周的翻译，古希腊爱智慧的学问就叫哲学。 在亚里士多德的知识分类中，哲学又被称为形而上学。 亚里士多德把人类的知识分为两大类，第一类知识是研究抽象的超验的对象，被称为第一哲学;第二类知识是研究具体的经验的对象，被称为第二哲学，也叫物理学。亚里士多德去世之后，他的学生们在编辑老师的著作时，把第一哲学放在了第二哲学之后出版，中国人在最初翻译亚里士多德的哲学著作时，采用直译的方式，就把第一哲学翻译为物理学之后。后来才根据中国古代《易经》系辞中的两句话：形而上者谓之道，形而下者谓之器，把哲学译为形而上学。 二、哲学是理论化、系统化的世界观 1.从哲学的研究对象角度下的定义。 2.世界观是人们对整个世界的根本看法。 3.方法论是人们在一定的世界观指导下认识和改造世界的根本方法。 三、哲学是关于自然知识、社会知识和、思维知识的概括和总结 四、理解微积分需要了解的哲学原理 1、自然界与人的辩证关系： 自然界先于人和人的意识而存在；在人类出现之后，自然界的存在与发展也不依赖于人的意识。所以说，自然界的存在与发展是客观的。 2、哲学上的物质 马克思主义哲学把不依赖于人的意识、并能为人的意识所反映的客观实体叫做物质，指 出整个世界是客观存在的物质世界，世界的本质是物质。 3、什么是人的意识 意识是客观存在在人脑中的反映。（意识无论正确与错误都是一种反映！） 4、物质与运动的辩证关系 物质是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。（在后面的微积分内容，会看到相对论效应。）——注意：函数与自然界辩证法要用这一条。 可以了，要理解微积分和相对论效应（你不用追着光跑！），这几条就足够了。有能力的可以看其它哲学的内容。 二、常量数学的哲学分析 1、常量数学的概念 所谓常量数学指：初等数学，即从原始社会到17世纪中叶形成的数学。研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。 2、常量数学的基本组成 初等数学在时间上可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公元前6世纪以前；几何优先阶段，公元前5世纪到公元2世纪；代数优先阶段，3世纪到17世纪前期。至此，初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。 所以，常量数学的组成可以认为是：算术+初等代数+初等几何，再加上一点点极限的原始理论。比如，我国魏晋时期杰出的数学家刘微创立了“割圆术”曾说“割之弥细，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。” 和庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这些均是朴素的、很典型的极限概念。 奇怪了，在古希腊既然有了“极限理论”怎么就生不出微积分呢？原因在于没有函数的理念！
参考资料：http://wenku.baidu.com/view/44507093daef5ef7ba0d3ca6.html