如何从麦克斯韦方程解出点电荷周围的电场强度

Question

如题所述

Answer 1

1.

规律：任意电场都可由多个点电荷电场叠加而成。

电场的高斯定理：通过一个任意闭合曲面S的电场强度通量ΦE等于该面所包围的所有电荷电量的代数和∑q除以ε0，与闭合面外的电荷无关。

证明如下：

首先证明包围点电荷q的同心球面电场强度通量都等于q/ε0：
因为点电荷场强为辐射状，因此场强与面元法向夹角θ=0，从而通过面元dS的电场强度通量微元dΦE=EcosθdS=Ecos0dS=EdS。电场强度通量为曲面S上的闭合曲面积分ΦE=∮∮dΦE=∮∮EdS=E∮∮dS，其中E根据库仑定律和场强定义有E=(1/4πε0)q/r²，而∮∮dS即为球面面积4πr²，二者相乘等于q/ε0。

然后证明包围q的任意闭合曲面S电场强度通量都等于q/ε0：
以q为圆心作一球面S"，在其上作微分立体角dΩ，dΩ截S"面元dS"，截S面元dS。通过dS的电场强度通量为dΦE=(Ecosθ)dS=E(cosθdS)，
也就是说原来是E在dS法向上的分量Ecosθ，现在看成dS在与E垂直的面上的投影cosθdS。令dS'=cosθdS，就有通过dS'和dS"的电场强度通量都等于微分立体角dΩ内的电场强度通量。因此有dΦE=EdS'=((1/4πε0)q/r²)dS'=(1/4πε0)q(dS'/r²)=(1/4πε0)qdΩ=(1/4πε0)q(dS"/r"²)=((1/4πε0)q/r"²)dS"，因此ΦE=∮∮dΦE=((1/4πε0)q/r"²)dS"=q/ε0。

同理证明不包围q的任意闭合曲面S电场强度通量都等于0：
以q为端点作射线切S，所有切点连成曲线将S分为两个曲面片S1和S2。在S1上取一面元dS1，则因为闭合曲面不包围q，所以电场线有穿入必然有穿出，又因为曲面片由切点划分，所以电场线必然从S2的对应面元dS2上穿出。根据与包围q情况下类似的分析，可知通过dS1的电场强度通量dΦE1=EdS1'=((1/4πε0)q/r1²)dS1'=(1/4πε0)q(dS1'/r1²)=(1/4πε0)qdΩ，通过dS2的电场强度通量dΦE2=-EdS2'=-((1/4πε0)q/r2²)dS2'=-(1/4πε0)q(dS2'/r2²)=-(1/4πε0)qdΩ，二者大小相同符号相反，因此其代数和dΦE1+dΦE2=0。闭合曲面S电场强度通量由面元对组成，因此有电场强度通量等于0。

以上两种情况下，对于复杂曲面即电场线多次穿入和穿出曲面时仍然是成立的。电场线穿过曲面次数为奇数时，曲面包围点电荷，其中偶数次一一对应的穿过其电场强度通量各自相互抵消，电场强度通量等于微分立体角的电场强度通量。电场线穿过曲面次数为偶数时，曲面不包围点电荷，偶数次一一对应的穿过其电场强度通量都各自相互抵消。

然后通过 场强矢量叠加原理，得到 包围多个点电荷qi,i=1,2,3...的任意闭合曲面S电场强度通量：电场强度通量ΦE=∮∮(E1cosθ1+E2cosθ2+...)dS=∮∮dΦE1+∮∮dΦE2+...=q1/ε0+q2/ε0+...=(1/ε0)∑q。

2.

规律：任意带电体包括点电荷内部都可通过试探电荷，且点电荷等势面可看做球面。

静电场的环路定理：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零。等价表述是：静电场力做功与路径无关。

证明如下：

首先证明点电荷电场中，场强E沿任意闭合环路L的线积分∮Edl=0：
取环路上两点P、Q。一试探电荷q0从P移动到Q。在一点上试探电荷位移dl电场力F做的元功为dA=(Fcosθ)dl=F(cosθdl)。其中θ为试探电荷在路径上所受电场力F方向与路径切向dl的夹角，这也就是说原来是F在dl方向上的分量Fcosθ，现在看成是dl在F方向上的分量cosθdl。令dr=cosθdl，就有每一段dr都对应点电荷辐射线上的一段线段，这些线段组成了一条完整的辐射线，从P所在的等势面上一点P'到Q所在的等势面上一点Q'，且同一等势面上场强相等，点电荷所受电场力也相等。因此总功A(P->Q)=A(P'->Q')=∫Fdr=∫q0Edr=∫((1/4πε0)q0q/r²)dr=(1/4πε0)q0q∫(1/r²)dr=(1/4πε0)q0q(1/rP'-1/rQ')。这说明总功A(P->Q)只与P点和Q点与点电荷的距离rP'和rQ'有关，与路径无关。从P到Q和从Q到P电场力做功大小相等方向相反，因此电场力沿任意闭合环路做功为零，与路径无关。根据场强定义E=F/q0，同理依上述方法可得场强沿任意闭合环路的线积分为零。

然后证明多个点电荷电场中，场强E沿任意闭合环路L的线积分∮Edl=0：
根据 场强矢量叠加原理，得到 多个点电荷qi,i=1,2,3...的电场中，试探电荷从P到Q电场力做的功A(P->Q)=q0∫(E1cosθ1+E2cosθ2+...)dl=q0∫E1cosθ1dl+q0∫E2cosθ2dl+...=∫F1cosθ1dl+∫F2cosθ2dl+...，上式右方每一项都可由前述方法得到与路径无关，因此总电场力做的功也与路径无关，同理根据场强定义E=F/q0，依上述方法可得多个点电荷电场中，场强沿任意闭合环路的线积分为零。