双曲线和椭圆的常用公式有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

双曲线和椭圆是两种常见的二次曲线。它们的标准方程、基本性质和常用公式如下：
双曲线
（1）标准方程：
水平双曲线：Ax^2 - By^2 = 1（A > 0，B > 0）
垂直双曲线：Ay^2 - Bx^2 = 1（A > 0，B > 0）
（2）焦点坐标：
水平双曲线：焦点在x轴上，焦点坐标为（±c，0），其中c^2 = A + B；
垂直双曲线：焦点在y轴上，焦点坐标为（0，±c），其中c^2 = A + B。
（3）顶点坐标：
水平双曲线：顶点在x轴上，顶点坐标为（±a，0），其中a^2 = A；
垂直双曲线：顶点在y轴上，顶点坐标为（0，±a），其中a^2 = A。
（4）渐近线方程：
水平双曲线：y = ±(B/A)^(1/2)x；
垂直双曲线：x = ±(B/A)^(1/2)y。
椭圆
（1）标准方程：
水平椭圆：Ax^2 + By^2 = 1（A > 0，B > 0）
垂直椭圆：Ay^2 + Bx^2 = 1（A > 0，B > 0）
（2）焦点坐标：
水平椭圆：焦点在x轴上，焦点坐标为（±c，0），其中c^2 = A - B；
垂直椭圆：焦点在y轴上，焦点坐标为（0，±c），其中c^2 = A - B。
（3）顶点坐标：
水平椭圆：顶点在x轴上，顶点坐标为（±a，0），其中a^2 = A；
垂直椭圆：顶点在y轴上，顶点坐标为（0，±a），其中a^2 = A。
（4）半长轴和半短轴：
水平椭圆：半长轴a，半短轴b，满足a^2 = A，b^2 = B；
垂直椭圆：半长轴a，半短轴b，满足a^2 = A，b^2 = B。
（5）离心率：
水平椭圆：e = c/a = (A - B)^(1/2) / A^(1/2)；
垂直椭圆：e = c/a = (A - B)^(1/2) / A^(1/2)。
（6）焦距：
水平椭圆：2c = 2(A - B)^(1/2)；
垂直椭圆：2c = 2(A - B)^(1/2)。
总结：双曲线和椭圆的常用公式包括它们的标准方程、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程（仅适用于双曲线）、半长轴、半短轴、离心率和焦距等。这些公式有助于我们更好地理解和应用这两种二次曲线。