关于初学高数的一些疑问。

Question

如图这个证明完全不知道它在干嘛。。无穷小到底是个什么，和极限到底有什么区别？书上定义很含糊，请不要搬原话。

另外，现在初学高数感觉很多东西的证明每一步单独来看都能看懂，但总体上感觉思路好乱，找不到一条清晰的思路主线。。有没有人有过类似经历，可以给些建议吗？

Answer 1

无穷小就是一个无限趋近于零
但是不是零的数字
举一个最简单的例子
比如n->+∞时
(1/10)^n=0.00...(n-1个零)1
这就是一个无穷小
你说它不等于零吧 也对
但是无限接近于零

取任何一个ε的值 都不能比它更接近于0
(这也是学术界对极限的定义
比所有的数字(ε)都更接近某一个值
那么就认为极限是这个值)

函数的极限就是
当函数趋近于某一个值(如x0)的时候
(在x0的'附近')
函数值也趋近于一个值
定义中的所谓存在一个ð
就是取x0的'附近'这个地理位置

理解了极限的定义 理解无穷小就没问题了
其实就是无限趋近于0嘛

无穷小加上一个数 比如A
相当于无限接近于A的一个数字 但是不是A
怎么理解呢 你看栗子
n->+∞时
A+(1/10)^n=A+0.00...1
是不是无限趋近于A
所以无穷小加加减减完全没问题的

最后学习思路的问题
高等数学 其实就是微积分啦
第一章讲极限 其实是给后面铺垫
后面才是主干内容
如果不明白极限 是没有办法理解后面的内容的
后面包括了
一元函数微分/积分
多元函数微分/积分
微分方程 级数等
这七块东西学会了 微积分就入门了追问

所以无穷小是个函数是吗？
另外我感觉前几十页很多结论都很显然，然后又要用这些显然的话去证明另一句显然的话，所以感觉有点不能接受，这怎么办

追答

数学上无穷小不是零 严格来讲应该使用零正或者零负(从正负方向趋向于零)
但是工程学为了方便使用 一般把无限趋向于某一值就看做那个值
所以我感觉在写计算结果时可以用零代替无穷小 过程中则不可以

用一句很显然的话证明另一句很显然的话 其实是因为数学模型的建立是从无到有的 每一个定式和结论都需要已被证明的结论去证明才能真正使用 例如在微积分中的费马大定理和罗尔定理都是一眼都能推断出正确的定理 但是在早期微积分发展史上缺乏极限这一有效的工具时，他们的出现是极为艰难的，不能因为一眼看出来结果就跳过其证明过程(极限的完整理论体系在十九世纪才被创立)
实际上我认为大学的数学学习一方面是培养学生的数理能力 一方面也是为了训练学生的学术上的严谨性。

追问

可以把无穷小看成一个函数吗
书上又有一句话“零可以作为无穷小的唯一常数”这又是什么意思