二项式系数的和和各项系数的和是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

1. 二项式系数的和：
二项式系数的和可以使用二项式定理来计算。根据二项式定理，对于任意实数 a 和 b，以及非负整数 n，有：

(1 + x)^n = C(n,0) + C(n,1) * x + C(n,2) * x^2 + ... + C(n,n) * x^n

其中，C(n, k) 表示 n 个中选取 k 个的组合数，也就是二项式系数。因此，二项式系数的和为：

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n

2. 各项系数的和：
各项系数的和可以使用二项式展开公式来计算。根据二项式展开公式，对于任意实数 a 和 b，以及非负整数 n，有：

(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n

各项系数的和即为：

C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n = (a + b)^n

这个和的结果就是将 a 和 b 分别替换为 1，得到：

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n

因此，二项式系数的和和各项系数的和的结果都是 2^n。