数列问题中的数学思想方法
数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。
一、 函数思想
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。
例1.已知数列的通项公式 ，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？
分析：根据条件，数列 的点都在函数 的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。
例2．已知数列 是等差数列，若 ， ，求 。
解： ，故 为等差数列，其通项为一次函数，设 ，则点 ， ，在其图象上， ， ， ，
故 ，解之得： 。
评注： 是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解 。
例3．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 。
（1）求公差d的取值范围；（2）指出 、 、 …… 中哪一个值最大，并说明理由。
分析：对于（1），可考虑由 ， 建立关于d的不等式组，对于（2）由 是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。
解：（1）由 知 ，
。
（2）
， 是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为： ，
， ，故当整数 时， 最大，即 最大。
评注：对于等差数列来说， 是n的二次函数，且常数项为零，可写为 的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于 ， ，故图象与x轴的另一交点横坐标
，满足 ，故对称轴为 ， ，因此，判定 时 最大，以上思维过程更为简捷。
例4．等差数列 的首项是2，前10项之和是15，记 求 及 的最大值．
分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“ ”这一表达式准确、全面的认识： 是数列 的子数列，其中2，4，8，……， 组成等比数列， 则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求 最大值的不同解法．
解：设等差数列 的公差为d，由已知：
，解得
求 的最大值有以下三种解法．
解法一：
由
令 ，解得
又 ，解得
即在数列 中：
，
所以当 时， 的值最大，其最大值为：
解法二：
数列 的通项
令 ，得 ，
由此可得
故使 ， 的最大值为4．
∴
解法三：
由 ，若存在自然数 ，
使得 ，且 ，则 的值最大．
解得 ，取 时， 有最大值：
反思回顾：上述三种求 最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列 的单调性及 值的正负，求子数列 的前n项和 的最值．解法二是直接研究子数列 ．解法三是研究 的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数 的单调性．
二、 方程思想
数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量 ，“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。
例5、设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 ， 与2的等差中项等于 与2的等比中项，求 的通项公式。
解：由题意可知 整理得： ，当 时 解得 。又 - ，整理得： ，又 ， ，即 是首项为2，公差为4的等差数列， 。
点评：本例利用了方程的消元思想由 、 消去 得到了
这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助 消去 利用 递推关系解题。
例6、已知等差数列 的公差是正数，并且 ，求前n项的和 。
解：由等差数列 知： ，从而 ，故 是方程 的两根，又 ，解之，得： 。再解方程组： ，所以 。
点评：本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 （或 ）找出解题的捷径。。
三、 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。
例7、已知等差数列 的前n项的和 ，求 。
解：（1）当 时， ；
（2）当 时， ；
综合（1）（2）可知 。
点评：此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是 中脚码 必须为正整数。
例8．已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）由题设
（Ⅱ）若
当 故
若
当
故对于
例9．（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
例10． 设等比数列 的公比为 ，前n项和 。
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。
解：（Ⅰ）因为 是等比数列，
当
上式等价于不等式组： ①
或 ②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由 得
于是
又∵ >0且－1< <0或 >0
当 或 时 即
当 且 ≠0时， 即
当 或 =2时， 即
四、 化归与转化的思想
我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决。
例11． 已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ，求 的通项公式。
分析与略解：当n≥2时， ， 。两式相减，得
，
。
可见 是公比为2的等比数列。
又 ， ，
得 ，
则 。
因此 。
两边同除以 ，得
（常数），
可见 是首项为 ，公差为 的等差数列。因此
，
从而 。
评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行。问题降低了难度。
例12．设 是首项为1的正项数列，且 （n=1,2,3…），求通项 。
分析与略解：则已知有 。
由 为正项数列，知 ，故有 。（*）
方法1（叠乘法）：由（*）有
。
利用
，
得
方法2（叠加法）：由（*）式，记 ，则 。
利用 得 。
方法3（常数列）：由（*）式有 ，可知 是常数列。
则 ，
得 。
评析：有些数列不易直接化成等差或等比数列，但经推理可寻求特殊的关系转化为可求通项的数列。上例巧妙利用
和 求解。
例13、已知数列 的通项公式为 ，求此数列的前 的和 。
解：
点评：本例是利用转化与化归的思想把数列中的每一项都拆开（拆项相消法）巧妙的求前 和。
例14、求证：
证法1：令 又
证法2：令
则
；
点评：证法1采用拆项分组求和证明的，证法2采用的是倒序相加法求和证明的。
总之由上可知化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等。
五．归纳猜想数学归纳思想
例15．设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,
记 ，n＝＝l，2，3，…•．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 ．
解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；
（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,
所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),
猜想：{bn}是公比为 的等比数列•
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列•
（III） .
例16．（湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk¬)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
例17．已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
最后，数学思想与方法是数学“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累，解题方法提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性。因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识。
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