（2013?江东区模拟）数学家已证明“不能用直尺和圆规三等分角”．如果不限作图工具呢？有位数学爱好者制

Question

（2013?江东区模拟）数学家已证明“不能用直尺和圆规三等分角”．如果不限作图工具呢？有位数学爱好者制作了如下的“三等分角器”；将量角器直径BC和一条直尺AB放在同一条直线上，移动量角器使得AB=OB=OC，另一条直尺的边缘BD过点B，且BD⊥AB，并用固件按这样的位置固定．（1）如图，把∠MPN的顶点P放在三等分角器的BD线上，移动器具，使∠MPN的一边MP过点A，另一边PN和半圆相切．请你说明直线PB和PO三等分∠MON．（2）若从量角器上读的∠COE=x（0＜x＜90°）请用含x的代数式表示∠MPN的度数．

Answer 1

（1）∵PN切⊙O于E，
∴PE⊥OE，
∵∠PBO=∠PEO=90°，
在Rt△PBO和Rt△PEO中，

PO＝PO OB＝OE

，
∴Rt△PBO≌Rt△PEO（HL），
∴∠OPE=∠OPB，
∵AB=BO，PB⊥OA，
∴PA=PB，
∴∠MPB=∠OPB，
即∠MPB=∠OPB=∠NPO．

（2）∵Rt△PBO≌Rt△PEO，
∴∠POB=∠POE，
∵∠EOC=x，
∴∠POE=

1

2

（180°-x）=90°-

1

2

x，
∵∠PEO=90°，
∴∠MPO=90°-（90°-

1

2

x）=

1

2

x，
∴∠MPN=3∠MPO=

3

2

x．