怎样证明反函数存在呢？

Question

如题所述

Answer 1

反函数存在性定理：

若函数y=f(x),x∈Dfy=f(x),x∈Df是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数x=f1(y):Rf→Xx=f1(y):Rf→X，并且f1(y)f1(y)也是严格单调增加（减少）的。

证明：

不妨设y=f(x),x∈Dfy=f(x),x∈Df严格单调增加，可知∀x1,x2∈Df,x1<x2⇒f(x1)<f(x2)∀x1,x2∈Df,x1<x2⇒f(x1)<f(x2)，所以∀x1,x2∈Df,f(x1)=f(x2)⇒x1=x2∀x1,x2∈Df,f(x1)=f(x2)⇒x1=x2，所以存在反函数f−1(y),y∈Rff−1(y),y∈Rf。

∀y1,y2∈Df−1=Rf,∀y1,y2∈Df−1=Rf,设x1=f−1(y1),x1=f−1(y1), x2=f−1(y2),x2=f−1(y2),则y1=y2⇒x1=x2,y1=y2⇒x1=x2,否则。

(1) x1<x2⇒y1=f(x1)<f(x2)=y2,x1<x2⇒y1=f(x1)<f(x2)=y2。

(2) x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2。

简介

反函数定理说明如果从Rn的一个开集U到Rn的连续可微函数F的全导数在点p可逆（也就是说，F在点p的雅可比行列式不为零），那么F在点p的附近具有反函数。

也就是说，在F(p)的某个邻域内，F的反函数存在。而且，反函数F-1也是连续可微的。在无穷维的情况中，需要弗雷歇导数在p附近具有有界的反函数。

Answer 2

要证明反函数存在，需要满足两个条件：

函数必须是一对一的，即对于定义域内的任意两个不同的值，在值域中对应的输出值也必须不同。函数必须是可逆的，即每一个定义域内的值都有唯一的一个值域对应。

具体来说，对于一个函数y=f(x)，如果它是严格单调函数，那么它必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。然后需要判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致，如果满足以上条件，则反函数存在。