用数学方法证明匀速圆周运动向心力公式

Question

圆周运动向心力公式：F=mv² /r。在圆周运动过程中，向心力只改变方向，不改变大小。如果通过数学矢量的方法是否可以证明该公式呢？
当然也可以用其他的数学方法证明，但要推导准确且令人信服（不要原先网上方法）
加分。先行谢过。
三位回答得真好，有心把分给2楼，可一楼的回答也很让我满意。没办法，提高悬赏，大家选吧。

Answer 1

可以用圆的方程来推导：

1，以其运动圆圆心作原点建系，其轨迹为

Rx=r*cos(wt)

Ry=r*sin(wt)

求导得其速度沿x,y轴分量与时间关系

Vx= -r*w*sin(wt)

Vy= r*w*cos(wt)

第二次求导得其加速度沿x,y轴分量与时间关系

ax=-r*w²*cos(wt)

ay=-r*w²*sin(wt)

则其加速度a=r*w²

F=ma=mw²r=...

2，用微积分

如图，当质点由A到B时，向心力F所产生的速度分量为V’

∮单位为rad（弧度）, a’为平均加速度

V’=2v*sin（0.5∮）=a’t

t=∮*r/v

则a’=v²/r * sin（0.5∮）/（0.5∮）

当 ∮→0 时，a’ →a

而此时sin（0.5∮）/（0.5∮）等于二者在0处的斜率比

据微积分求导公式，f(sin（0.5∮）)=0.5*cos（0.5∮）

在0处导得斜率为0.5，而后者斜率始终为0.5

故a=v ²/r

则F=ma=m v ²/r=…

Answer 2

v为速度矢量，设轴向单位矢量w0,a为加速度向量，
×代表矢量叉乘,d+物理量代表微分
dv=w0×vd(theta),
dv/dt=w0×vd(theta)/dt,
d(theta)/dt为角速度w幅值，可以移到式子前面
a=w×v
F=ma=mw×v
F的幅值为mwv=mv^2/r

Answer 3

看图吧，我都解在图片上了