假设Xi∼U(0,1)Xi∼U(0,1)，i=1,2,⋯,ki=1,2,⋯,k
F(x)=P(min(Xi)≤x)=1−P(min(Xi)>x)=1−(1−x)kF(x)=P(min(Xi)≤x)=1−P(min(Xi)>x)=1−(1−x)k
对F(x)F(x)求导，得到概率密度函数
f(x)=k(1−x)k−1.f(x)=k(1−x)k−1.
根据期望的定义，进行积分
E=∫10xf(x)=∫10kx(1−x)k−1=k∫10(1−z)zk−1dz=1k+1
例如：
设区域D={(x,y)丨0<x<1，0<y<1}。由题设条件，有f(x,y)=f(x)f(y)=1,(x,y)∈D、f(x,y)=0,(x,y)∉D。
而，x≥y时，max(x,y)=x，min(x,y)=y、x<y时，max(x,y)=y，min(x,y)=x。
∴E[max(x,y)]=∫∫Dmax(x,y)f(x,y)dxdy=∫(0,1)dy∫(y,1)xdx+∫(0,1)dx∫(x,1)ydy=2/3。
E[min(x,y)]=∫∫Dmin(x,y)f(x,y)dxdy=∫(0,1)dy∫(y,1)ydx+∫(0,1)dx∫(x,1)xdy=1/3。
∴E[max(x,y)-min(x,y)]=E[max(x,y)]-E[min(x,y)]=1/3。
扩展资料：
若a = 0并且b = 1，所得分布U（0,1）称为标准均匀分布。
标准均匀分布的一个有趣的属性是，如果u1具有标准均匀分布，那么1-u1也是如此。
（1）如果X服从标准均匀分布，则通过逆变换方法
（2）如果X服从标准均匀分布，则Y = Xn具有参数（1 / n，1）的β分布。
（3）如果X服从标准均匀分布，则Y = X也是具有参数（1,1）的β分布的特殊情况。
（4）两个独立的，均匀分布的总和产生对称的三角分布。
参考资料来源：百度百科-均匀分布
做法如下图所示，先求出最小值的概率密度，再由公式求出其期望。
