第1个回答 2023-02-11
该微分方程的通解可以用常系数线性微分方程的解法求得。首先将其写成常系数线性微分方程的标准形式:
y' + y = x
然后可以使用特解法或求解积分因子法求解。
特解法:
对于任意常系数线性微分方程,我们可以找到特解,再将它和通解相加以得到整个通解。特解可以通过积分或积分因子法求得。
积分因子法:
找到一个积分因子,再用它将原方程变形,使其变成一个简单的线性方程,然后求解。
这里,我们使用积分因子法求解:
首先,我们找到积分因子:
e^(∫1dx) = e^x
将原方程乘以积分因子得到:
e^x y' + e^x y = x e^x
令 v = e^x y,带回原方程得到:
dv/dx = x e^x
解得:
v = (1/2) x^2 e^x + C
再代入 y = v / e^x,得到:
y = (1/2) x^2 + C_1 e^-x
其中 C_1 是常数。因此,该方程的通解为:
y = (1/2) x^2 + C_1 e^-x
其中 C_1 是常数,可以根据初始条件确定。