3 求微分方程 y`+1-x=0 的通解.

Question

如题所述

Answer 1

方法如下，请作参考：

若有帮助，
请采纳。

Answer 2

该微分方程的通解可以用常系数线性微分方程的解法求得。首先将其写成常系数线性微分方程的标准形式：

y' + y = x

然后可以使用特解法或求解积分因子法求解。

特解法：
对于任意常系数线性微分方程，我们可以找到特解，再将它和通解相加以得到整个通解。特解可以通过积分或积分因子法求得。

积分因子法：
找到一个积分因子，再用它将原方程变形，使其变成一个简单的线性方程，然后求解。

这里，我们使用积分因子法求解：

首先，我们找到积分因子：
e^(∫1dx) = e^x

将原方程乘以积分因子得到：

e^x y' + e^x y = x e^x

令 v = e^x y，带回原方程得到：

dv/dx = x e^x

解得：

v = (1/2) x^2 e^x + C

再代入 y = v / e^x，得到：

y = (1/2) x^2 + C_1 e^-x

其中 C_1 是常数。因此，该方程的通解为：

y = (1/2) x^2 + C_1 e^-x

其中 C_1 是常数，可以根据初始条件确定。