线性代数 向量组线性无关的证明

Question

如题所述

Answer 1

以三个向量为例，假设三个向量分别为
a，b，c。三个常数K1，K2，K3，若存在不全为0的K1、K2、K3，使得
K1
*
a
+
K2
*
b
+
K3
*
c
=
0，则我们可以称为向量a，b，c线性相关；否则称为线性无关（注意，这里等号右边的0指的是0向量，是一个矢量，因为常数乘以向量的结果是一个向量，向量相加也是一个向量。）上面等式中，不全为0指的是只要K1，K2，K3三个常数有一个不为0，上式等式成立，三个向量也就是线性相关。只有在K1=K2=K3=0时，前面等式才成立，那么我们就称为向量a，b，c线性无关。其他多个向量线性相关性的原理与此类似。也可用反证法证明。即先假设线性相关，最后推出K1=k2=k3=0，与先前假设矛盾，故可证明结论是线性无关。

Answer 2

设x1α1+x2α2+...+x(n-1)α(n-1)+yβ＝0，则x1α1+x2α2+...+x(n-1)α(n-1)＝-yβ。
两边与β求内积，得0=-y(β,β)，因为β非零，所以(β,β)＞0，所以y=0。
所以x1α1+x2α2+...+x(n-1)α(n-1)＝0。
因为α1,α2,...,α(n-1)线性无关，所以x1=x2=...=x(n-1)=0。
所以向量组α1,α2,...,α(n-1),β线性无关。

Answer 3

eg：设向量组a1 a2 a3线性无关，且β1=a1+a2，β2=a2+a3，β3=a3+a1。判定向量组β1 β2 β3的线性相关性
答：设有x1x2x3，使得x1β1+x2β2+x3β3=0。即x1（a1+a2）+x2（a2+a3）+x3（a3+a1）=0
整理得（x1+x3）a1+（x1+x2）a2+（x2+x3）a3=0 由a1a2a3无关得：x1+x3=0 x2+x1=0 x2+x3=0 推出x1=x2=x3=0 由此可得，对于x1β1+x2β2+x3β3=0 β1 β2 β3线性无关

Answer 4

证所有的k1
k1
k3
k4.......都为0
或
每一个向量都无法用其余向量线型表出
有具体问题么
可以证明给你