圆锥体积公式的推导

Question

如题所述

Answer 1

圆锥的体积
　　一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．
　　一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
　　根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：

圆锥
V=1/3Sh
　　S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。
　　证明：
　　把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
　　第 n份半径：n*r/k
　　第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
　　第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　因为
　　1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
　　所以
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
　　=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
　　因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
　　所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
　　因为V圆柱=pi*h*r^2
　　所以
　　V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

Answer 2

圆锥的体积

一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积．

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh）,得出圆锥体积公式：

圆锥

V=1/3Sh

S是圆锥的底面积,h是圆锥的高,r是圆锥的底面半径.

证明：

把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,

第 n份半径：n*r/k

第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2

第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3

因为

1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6

所以

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3

=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3

=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0

所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3

因为V圆柱=pi*h*r^2

所以

V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

根据具体问题类型，进行步骤拆解／原因原理分析／内容拓展等。
具体步骤如下：／导致这种情况的原因主要是……

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Answer 3

优质解答
　　一、等效替代法：
　　圆柱的体积为;SH
　　圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样),即用一个圆锥盛三次水,正好等于一个等低等高圆柱的容积,用圆柱的容积替代了圆锥的体积
　　所以圆锥的体积V＝1/3Sh
　　二、用微积分推导
　　思路是将圆锥微分为无限个半径逐渐减小的圆片的堆积,微圆片看成高度无限小的圆柱
　　设圆锥的高为HM地面半径R
　　几何法得到,每个界面的半径与界面高度的关系为 r=R-Rh/H
　　积分πr^2h
　　=E（π^2h)
　　∫(πr^2)dh=∫πR^2（1+h^2/H^2 -2h/H)dh h从0积分到H
　　=πR^2(H+H^3/3H^2-H^2/H)
　　=πR^2(H+H/3-H)
　　=πR^2H/3本回答被提问者采纳

Answer 4

个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V＝Sh（V＝πr^2h）,得出圆锥体积公式：
V＝1/3Sh（V＝1/3SH）
S是底面积,h是高,r是底面半径.

Answer 5

棱锥、圆锥的体积

课型：新课

教学目的与要求：掌握锥体的等积定值，锥体的体积公式。

理解“割补法”求体积的思想，培养学生发现问题，解决问题的能力。

教学重点与难点：公式的推导过程，即“割补法”求体积。

教学方法：发现式教学 教具：三棱柱模型、多媒体

1、复习祖日恒 原理及柱体的体积公式。

2、等底面积等高的任意两个锥体的体积。

（类比于柱体体积公式的得出）。首先研究等底面积等高的任意两个锥体体积之间的关系。

取任意两个锥体，设它们的底面积都是S，高都是h。

（图形没有打印）

（创造祖日恒 原理的条件）把这两个锥体放在同一个平面α上。这时它们的顶点都在和平面α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和底面顶点的距离是h，截面面积分别是S1、S2，那么：

∵S1/S=h12/h2，，S2/S=h12/h2，

∴S1/S=S2/S，S1=S2。

根据祖日恒 原理，这两个锥体的体积相等，由此得到下面的定理：

定理，等底面积等高的两个锥体的体积相等。

[本段设相利用多媒体使平行于底面的截面动态地作出，更直观地体现祖日恒 原理的实质。]

3、三棱锥的体积公式

为研究三棱锥的体积，可类比于初中三角形面积的求法。

[利用纪灯打出]

--------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------
C C D C D

② C ②

① Þ Þ ① Þ ① B

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--------------------------------------------------------------------------------
A B A B A B

在初中，学习三角形的面积公式之前，已知有平行四边形的面积公式，为此，将ΔABC“补”成和它同底等高的平行四边形ABDC，然后沿其对角线BC，将平行四边形“分”成两个三角形，由对称性，得到的ΔABC的面积为平行四边形面积的一半，即为：SΔABC=1/2ah，（a其底边长，h为高）

而今，欲求三棱锥的体积，亦可类比地借助于已知的柱体体积公式。

能否将三棱锥“补”成一个底面积为S，高为h的三棱柱呢？

[可以]以AA’为侧棱，以ΔABC为底面补成一个三棱柱。

也采用“分”的方法，这个三棱柱可分成怎样的三棱锥呢？

（图形没有打印）

[引导学生观察分析]将三棱柱分割成三个三棱锥，如图就是三棱锥1，和另两个三棱锥2、3。

[设想，这个过程由计算机完成，先将三棱柱分割下三棱锥1，将剩余部分旋转一下，使BCC’B’作为底面，可看出为一四棱锥A’-BCC’B’，然后将其分成两个三棱锥]

三棱锥1、2的底ΔABA’、ΔB’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。三棱锥2、3的底ΔB’CB’、ΔC’B’C的面积相等，高也相等。（顶点都是A’）。

∴V1=V2=V3=1/3V三棱柱

∵V棱柱Sh

∴V三棱锥=1/3Sh

最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以得到下面的定理。

定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是：V锥体=1/3Sh。

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：

V圆锥=1/3πr2h

再去找本高中的《立体几何》来看看