在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．（1）若△ABC为锐角三角形，求 c

Question

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．（1）若△ABC为锐角三角形，求 c a 的取值范围；（2）若 cosA= 3 4 ，a+c=20，求b的值．

Answer 1

（1）根据正弦定理有 c a = sinC sinA = sin2A sinA =2cosA ，（2分） 在△ABC为锐角三角形中，可得三个角都为锐角， 由C=2A，得到C＞A， 可得C＞60°，即2A＞60°，解得：A＞30°， 同时C＜90°，即2A＜90°，解得：A＜45°，（4分） ∴30°＜A＜45°， ∴cosA∈（ 2 2 ， 3 2 ），即2cosA∈（ 2 ， 3 ）， 则 c a ∈( 2 ， 3 ) ；（6分） （2）由（1） c a =2cosA ，又 cosA= 3 4 ， 得 c a = 3 2 ，与a+c=20联立得： c a = 3 2 a+c=20 ? a=8 c=12 ，（8分） 再由余弦定理有a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA， 即64=b 2 +144-18b， 解得b=8或b=10，（10分） 若a=8，可得a=b，三角形为等腰三角形， 又∠C=2∠A， 可得∠C为直角， 即三角形为等腰直角三角形，即∠A=45°， 可得cosA= 2 2 ≠ 3 4 ，故b=8要舍去． 则b=10．