利用二重积分求体积

Question

利用二重积分求z=9-x^2-4y^2与xy平面围成的立体的体积，请写出过程

Answer 1

楼上错了
z=9-x^2-4y^2与xy平面围成的立体
即z=9-x^2-4y^2>=0

x^2+4y^2<=9
椭圆参数化
x=rcost
2y=rsint
所以
x^2+4y^2=r^2cos^2t+r^2sin^2t=r^2
r^2<=9
0<=r<=3(注意r非负)
所以
x=rcost

y=(1/2)rsint
雅可比矩阵J=|dx/dr dx/dt|
|dy/dr dy/dt|
=|cost -rsint |
|(1/2)sint (1/2)rcost|
=(1/2)r
所以积分可写作
∫∫_D (9-r^2)rdrdt

∫<0,2pi>dt ∫<0,3>(9-r^2)rdr

=2pi*∫<0,3>9r-r^3 dr

=2pi*[9r^2/2-r^4/4]|<0,3>
=2pi*(81/2-81/4)
=81pi/2

Answer 2

V=∫∫<D>(9-x^2-4y^2)dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>(9-r^2)/2rdr (广义极坐标变换：x=rcosθ,y=(rsinθ)/2，面积元为：(rdrdθ)/2)
=π∫<0,1>(9r-r^3)dr
=17π/4