解题过程如下:
sinx与cosx在x趋向于无穷大时极限均不存在
假设sinx极限存在,那么当根据无穷远处极限的定义
找到一个数X0使得一个充分小的数e对所有x>X0时
/sinx-sinX0/
=(sinx-x)/x/(cosx-x)/x (分子分母同除以x)
=(_sinx/x-1)/(cosx/x-1)
=2sinX0
=0
求数列极限的方法:
设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:
1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等,即f(x0+)≠f(x0-)。
2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。
3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等,但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。
则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。
sinx与cosx在x趋向于无穷大时极限均不存在。
假设sinx极限存在,那么当
根据无穷远处极限的定义,我们可以找到一个数X0使得一个充分小的数e
对所有x>X0时,
/sinx-sinX0/<e
即/sinx-sinX0/的极限为0
取x=X0+π/2和x=X0+π
于是得到sinX0-cosX0=0
2sinX0=0
解得X0无解,也就是说找不到X0,
于是可以得到sinx极限不存在
同理也可得到cosx极限不存在
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:
对于被考察的未知量,先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量,确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想,是数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数(为0得到极大值)以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。
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