证明lim(1/x+1)^x当x趋于无穷时存在极限

Question

我知道极限等于e，不管极限等于多少只要证明它存在就行
像tllau38那样的把L=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x 要证明的结果，这样假设设起来的就别写了，这样毫无疑问是错的

Answer 1

你看这样行不行啊，要用到级数的知识。

在-1<t<=1时，ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+.........

设p(t)=(1+t)^(1/t)

lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+.....
所以t->0+的时候，1-t/2<lnp(t)<1
因为lim(t->0+) (1-t/2)=1
所以，根据夹逼定理，lim(t->0+) lnp(t)=1
所以lim(t->0+) p(t)=lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e
所以lim(x->+∞) (1/x+1)^x=e

至于lim(x->-∞) (1/x+1)^x=e
可以求lim(t->0+) (1-t)^(1/t)的极限
跟上面的过程一致。

最后得出lim(x->∞) (1/x+1)^x=e

这个方法，并没有事先假设lim(x->∞) (1/x+1)^x的存在，而是真正的夹逼出来的。追问

我觉得吧只要在证明前出现跟e有关的都是错的，对数ln里面要用到e，也就是说在证明前就用了lim(x->∞) (1+ 1/x)^x=e的结论

追答

没有啊，加个ln是恒等变形。
然后lnp(t)的极限求出来了。
那么p(t)的极限，等于e^(lnp(t))的极限，这是极限的基本性质。

你如果不用ln的话，你可以这么弄，用lg可以把。
先求出lgp(t)的极限。然后limp(t)=10^(lim (lgp(t))

你如果看懂了，都是恒等变形，并没有事先假设极限是e，
而且在很多求极限的时候，都会用到先加个ln，然后求出极限。
但是求出来的极限可能跟e一点关系都没有。

比如lim lnp(t)=ln2
那么原极限=e^(ln2)=2

追问

lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+..... 你说这个是恒等式，那我还说说lim(x->∞) (1+ 1/x)^x=e是恒等式，你lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+..... 恒等式肯定是有lim(x->∞) (1+ 1/x)^x=e之后推出来的，假如你把ln换成lg lgp(t)≠lg(1+t)/t≠1-t/2+t^2/3+.....

追答

你学过泰勒级数么？？

你知道他是怎么来的么？？

lg(1+t)/t≠1-t/2+t^2/3+.....，这是当然的。

你如果学过对数恒等变形，你就知道lg(1+t)=ln(1+t)/ln10，只是多了一个系数而已。

追问

这个不是麦克老林展开式吗

追答

迈克劳林不就是展开点在x=0的泰勒级数的特例么？？

追问

lg(1+t)=ln(1+t)/ln10这个是没错，你就不觉得奇怪非要用到与e有关的ln的对数呢

追答

这么高深的问题，我这种小白基本无法回答。
你如果学的高深一些了，可以看看一些大师的专注。
比如欧拉，高斯，阿基米德，应该能够找到答案的。

还有就是这个极限到底是怎么来的。

你说躲不开与e相关的问题，这个e是自然对数。是微观世界里躲不开的一个东西。
比如半导体的电压电流符合I=i0e^(v/v0)。
这应该是人们长期观测，而通过实验数据总结出来的一个量。

追问

我曾经数学在高中，大学也是数一数二的，现在已经三年多没有接触过数学了，最近替别人回答时发现了这个问题。因为这题的极限就是e，而你把不知来历的e出现在证明中，或多或少肯定有问题，辛苦你了。

追答

你好像把因果关系搞混了，
是e这个数字先出现的，这个数字来自于实践。
然后才有了这个极限。
这个极限是怎么来的，不知道了。

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Answer 2

lim(x->∞) (1+ 1/x)^x
=e追问

这个还用你说嘛，我都说了极限等于e，我问的是证明它存在极限，不用算出极限的值

追答

这是e 的定义

追问

都不知道存在极限的情况下，你怎么会给得出e的定义

追答

如果一定要
L=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x

lnL =lim(x->∞) ln(1+ 1/x) / (1/x) (0/0)
=lim(x->∞) (-1/x^2) /[ (-1/x^2)(1+ 1/x) ]
=lim(x->∞) 1/(1+ 1/x)
= 1
L = e
不过我告诉你，这是多余的

e=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x 这是定义

追问

如果这道题12分的话我给你打0分，第一步你设L=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x，也就是说你设它的极限为L最后你算的结果有极限，这是错误之一，你应该要假设不存在极限，结果与已知矛盾这样才行。第二步：lnL =lim(x->∞) ln(1+ 1/x) / (1/x)，lnL是什么？是人家在知道是e的情况下搞出来的