海交通大学概率论与数理统计复习题(A) 04-12
选择题
(1)设,且与为对立事件,则不成立的是 .
(a)与互不相容;(b)与相互独立;
(c)与互不独立;(d)与互不相容
(2)10个球中有3个红球,7个白球,随机地分给10个人,每人一球,则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 .
(a);(b);(c);(d)
(3)设~,概率密度为,则有 .
(a);(b);
(c);(d)
(4)若随机变量,的均存在,且,
,则有 .
(a),一定独立;(b),一定不相关;
(c);(d)
(5)样本取自正态分布总体,已知,但未知,则下列随机变量中不能作为统计量的是 .
(a);(b);
(c);(d)
(6)假设随机变量的密度函数为即~,且,均存在.另设取自的一个样本以及是样本均值,则有 .
(a)~;(b)~;
(c)~;(d)()~
(7)每次试验成功率为,进行重复独立试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为 .选择下列正确的答案.
(a);(b);
(c);(d)
(8)设,则有 .
(a);(b);
(c);(d)
(9)设为独立随机变量序列,且服从参数为的指数分布,则下列选项正确的是 .
(a);(b);
(c);(d)
(10)判断下列 结论不正确.
(a)正态随机变量的线性函数仍服从正态分布;
(b)若~,则关于,关于的边缘仍为正态分布;
(c)若,服从正态分布,则服从正态分布;
(d)若~,则与不相关和与相互独立等价
填空题
1.设总体,已知D(2X-Y)=1, 则 =________ .
2.设工厂甲和工厂乙的产品的次品率分别为1%和2%,现从甲,乙的产品分别占60%和40%的一批产品中随机取一件,发现是次品,则该次品属于甲厂生产的概率 .
3.设随机变量在(0,2)上服从均匀分布,则在(0,4)内的密度
= .
4.已知,则的= .
5.设,则= ,= .
6.设,则= ,
= .
7.已知随机事件的概率0.5,随机事件的概率0.6,条件概率=0.8,则事件的概率 .
在三次独立试验中,随机事件在每次试验中出现的概率为0.4,则至少出现一次的概率为 .
设随机变量相互独立,且,,则随机变量的方差= .
10.设随机变量的可能取值为-1和1,已知,则= .
11.已知,求= .
12.设,且相互独立,则至少出现一个的概率为 ,恰好出现一个的概率为 .
13.设随机变量服从分布,已知=1.6,=1.28,则参数= ,
= .
14.设的联合分布律如下表,则= .
1
2
3
-1
0
1/15
3/15
0
2/15
5/15
4/15
15.设随机变量服从参数为2的泊松分布,用切比雪夫不等式估计
.
16.设是来自正态分布的样本,
当= 时, 服从分布,= .
三,计算题
1.设与为常数,证明:.
2.设()的密度为,求,.
3.设与是两个独立的随机变量,其概率密度分别为
,
求:的概率密度.
4.在某年举办高考中,已知某科目的考生成绩,及格率为25%,80分以上的为3%,求此科目考生的平均成绩及标准差.
5.设随机变量服从的指数分布,证明在区间(0,1)服从均匀分布.
6.设随机变量的概率密度为,求随机变量的分布函数,并画出的图形.
7.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率是0.05,求
(1)任取一箱从中任取一个废品的概率;
(2)若将所有产品开箱混装,求任取一个为废品的概率.
8.已知10只晶体管中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率:
两只都是正品;(2)两只都是次品;(3)一只是正品,一只是次品;
(4)第二次取出的是次品
9.有不同的数学参考书6本,不同的物理参考书4本,不同的化学参考书3本,试求从中取出2本不同学科的参考书的概率.
10. 甲,乙,丙3位同学同时独立参加外语考试,不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5,
(1) 求恰有两位同学不及格的概率;
(2) 如果已经知道这3位同学中有2位不及格,求其中一位是乙同学的概率.
11.设随机变量有,求:
(1)(2)
12.设随机变量在[2,5]上服从均匀分布,现对进行三次独立观察,
求对的观察值大于3的概率;
设随机变量表示对进行三次独立观察中观察值大于3的次数,求
设有两箱同种零件,第一箱内装有50件,其中10件为一等品,第二箱装30件,其中18件为一等品,现从两箱中任取一箱,并从中挑选出的一箱中先后取出二个零件(取后不放回),求:
先取出的零件是一等品的概率;
在先取出的零件是一等品的条件下,后取出的也是一等品的概率
设随机变量()的联合密度函数为,
求
15.设某一复杂的系统由个相互独立的部件组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为, 并且必须至少有的部件工作, 才能使整个系统正常工作. 问至少为多少时才能使系统的可靠性不低于
16.已知随机变量的概率密度为 ,
设是来自的一个样本, 求的矩估计量(4分)和极大似然估计量.
17.设随机变量在区间上服从均匀分布其中未知, 并设是来自的一个样本,则的极大似然估计量为. 试确定使得为的无偏估计.
18.(1)从理论上分析得出结论:压缩机的冷却用水, 其温度升高的平均值不多于. 现测量了台压缩机的冷却用水的升高温度分别是:
问在=时, 这组数据与理论上分析所得出的结论是否一致
(2)已知纤维的纤度. 现抽取了根纤维,测得纤度为
问纤度的总体方差是否正常(取=)
19.电视台作某节目收视率的调查,在每天该节目播出时随机地向当地居民打电话询问是否在看电视,若在看电视,则再询问是否在看该电视节目.设回答在看电视的居民户数为n求:为保证以95%的概率使调查误差在1%之内,n应取多大
20.某厂生产的电池,其寿命长期以来服从方差(小时平方)的正态分布.今有一批这种电池,为判断其寿命的波动性是否较以往有所变化,随机抽取一个容量n=26的样本,测得其寿命的样本方差(小时),求在下这批电池寿命的波动性是否较以往有显著变化
上海交通大学概率论与数理统计复习题(B) 04-12
是非题
1.设,,为随机事件,则与是互不相容的. ( )
2.是正态随机变量的分布函数,则. ( )
3.若随机变量与独立,它们取1与的概率均为,则. ( )
4.等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. ( )
5. 样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计. ( )
6.在给定的置信度1-下,被估参数的置信区间不一定惟一. ( )
7.在参数的假设检验中,拒绝域的形式是根据备择假设而确定的. ( )
选择题
(1)设,则下面正确的等式是 .
(a); (b);
(c); (d)
(2)离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是 .
(a)且; (b)且;
(c)且; (d)且.
(3)设个电子管的寿命()独立同分布,且(),则个电子管的平均寿命的方差 .
(a); (b); (c); (d).
(4)设为总体的一个样本,为样本均值,为样本方差,则有 .
(a); (b);
(c); (d).
(5)设为总体的一个样本,为样本均值,则在总体方差
的下列估计量中,为无偏估计量的是 .
(a); (b);
(c); (d).
填空题
(1)设随机事件,互不相容,且,,则 .
(2)设随机变量服从(-2,2)上的均匀分布,则随机变量的概率密度函数
为 .
(3)设随机变量,则概率= .
(4)设随机变量的联合分布律为
若,则 .
(5)设()是来自正态分布的样本,
当= 时, 服从分布,= .
(6)设某种清漆干燥时间(单位:小时),取的样本,得样本均值和方差分别为,则的置信度为95%的单侧置信区间上限为: .
计算与应用题
1. 某厂卡车运送防"非典"用品下乡,顶层装10个纸箱,其中5箱民用口罩,2箱医用口罩,3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱,不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的一箱也是民用口罩的概率.
2. 设随机变量的联合密度函数
求 (1) 常数A ; (2) 条件密度函数; (3) 讨论与的相关性和独立性.
3.设随机变量(均匀分布),(指数分布),且它们相互独立,
试求的密度函数.
4.某彩电公司每月生产20万台背投彩电,次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.
5.设总体的概率分布列为:
0 1 2 3
p2 2 p(1-p) p2 1-2p
其中 () 是未知参数. 利用总体的如下样本值:
1, 3, 0, 2, 3, 3, 1, 3
求 (1) p的矩估计值; (2) p的极大似然估计值 .
6.某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验,结果分别为
12690C 12710C 12630C 12650C
设数据服从正态分布,以 % 的水平作如下检验:
(1) 这些结果是否符合于公布的数字12600C
(2) 测定值的标准差是否不超过20C
须详细写出检验过程.
7.设(X,Y)的联合分布律为
X
Y
0
1
2
-1
1/6
0
0
0
0
1/3
1/3
1
1/12
1/12
0
求cov(X,Y), , 及(X,Y)的协方差矩阵.
8.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数
求Z=max{X,Y}的密度函数.
证明题
设随机变量与相互独立,且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布,证明仍服从泊松分布,参数为6.
概率论与数理统计复习题
(打*题概率统计B可以不做)
填空
1. 设随机试验E对应的样本空间为S. 与其任何事件不相容的事件为 , 而与其任何事件相互独立的事件为 ;设有P(A|B)=1, 则A,B两事件的关系为 ;设E为等可能型试验,且S包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 .
附1..若与独立,则 ;若已知中至少有一个事件发生的概率为,则 .
2.且,则 .
3.设,且,则 ; .
4.设(连续)随机变量 (X,Y)的联合分布函数为 求概率P{max(X,Y)<1}= .
5.某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一,二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元.是否买此彩票的明智选择为: (买,不买或无所谓).
6..若服从泊松分布,则 ;若服从均匀分布,则 .
7.设,则 ,并简化计算 .
(附7:设某人的投篮命中率为p,其独立地投了若干次篮,则在第二次投中的条件下在此之前未投中n次的概率为 ).
8.则 .
9.,且与独立,则 (用表示), .
10.将一硬币抛次,分别用与表示其中正面和反面朝上的次数,则 .
11.已知的期望为5,而均方差为2,估计 .另设,试估计 _____.
12.设则由大数定理(或频率的稳定性)知, .现有位学生相互独立地做实验,各自的实验误差均服从的均匀分布,结果发现其中恰好有100位学生的实验误差小于,用上面的大数定理近似计算 .
13.某班上有100位学生各有一部手机,上课时都开机.假设每部手机上课时间内收到电话的次数都服从平均次数为1的泊松分布(各人间相互独立),用中心极限定理近似计算上课时不会有电话干扰的概率为 ,该近似计算的(绝对)误差为 .
14.设且与独立.则的概率分布为 ; ; ; ,且= .
15. 矩估计法估计总体未知参数的概率原理是 .
16.设总体的分布律为,其中未知,现有一样本值:.求实际中能观察到该样本值的概率 ,用最大似然法估计参数的概率原理是 .
17.设和均是未知参数的无偏估计量,且,则其中的统计量 更有效.
18.在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信水平愈 愈好,而置信区间的长度愈 愈好.但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 .
19.设总体,已知,若用常规的区间估计法,即,得到在置信水平下的置信区间为.则在显著性水平下用常规的检验法 (接受,拒绝,无法判断)原假设【并由此判断在显著性水平下 (接受,拒绝,无法判断)H0】.一般地,因为参数假设检验的概率原理是 ,故往往会犯错,对上面具体的参数检验问题犯第I类错误,即弃真错误的概率为 .一般的参数假设检验中,固定显著性水平但增大样本容量,则犯第II类错误,即纳伪错误的概率一般会 (增加,减小,不变,无法确定).
二.从甲地到乙地用货车运电脑,每次运10台.每次运输中有三种不同的损坏情况:a). 每次恰好1台电脑被损坏, b). 每次恰有2台电脑损坏,c). 每次恰有3台电脑被损坏,并且发生a), b), c) 三种损坏情况的概率分别为0.5,0.3,和0.2.现今有10台电脑运到,从中任取三件,发现恰有1台电脑被损坏.试分析这批电脑最有可能属于那种损坏情况.
附二*:现有n+1个相同的盒子,每盒装有n只球,每盒的装球情况如下:第i个盒子装i-1个白球和n+1-i个黑球,i=1, 2, …, n+1.现随机取一盒,从中依次摸球(每次摸一只并不放回),求在摸得第一只球为白球的条件下,第二次也在该盒中摸得白球的概率.
三. 设X 的概率密度为且E(X)=.(1)求常数k和c;(2) 求X的分布函数F(x);(3) 求X的m阶原点矩E(Xm);(4) 设随机变量Y定义如下:
求D(Y);(5)*令Z=F(X),求Z的概率密度.
四. 设X的分布函数为,且E(X)=, , ,而Y只可能取两个值.求 (1) 二维随机变量(X,Y)的联合概率分布律;(2) ,并以此判断X与Y是否独立;(3) 在X=1的条件下Y的条件分布律;(4)N=min(X,Y)的分布律.
五. 设(X,Y)的概率密度.求 (1)常数k;(2)X与Y是否独立;(3);(4);(5);(6)事件{"X3" 或 "Y<1"}的概率.
(注: 由此思考条件概率的定义所存在的问题)
六. 某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.006.用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率(答案用表示,要求用中心极限定理的两个版本求解).
七. 设某计算机用来产生某彩票摇奖时所需的10个随机数0,1,2, …, 9.设某人用该机做了100天试验,每天都是第一次摇到数字1为止.此100天中各天的试验次数分布如下:
试验次数
2
9
10
11
12
14
26
相应天数
5
20
30
20
10
10
15
假设每次试验相互独立且产生数字1的概率p保持不变.(1)求p的最大然估计值;(2)如果所得,请做出所有可能的解释;(3)求p的矩估计值.
附七:设总体X的概率密度其中c和为未知参数,为样本值.求c和的最大似然估计值.
八. 设某球星在NBA中每场得分～.现统计其14个赛季的每场平均得分,相应的样本标准差s=3.58.而这14个赛季中该球员的比赛场次分布如下
比赛场次数
18
20
23
25
相应赛季数
5
6
2
1
通过上列统计数据求:(1)总体方差的一个无偏估计值;(2)总体方差的置信水平为0.95的一个置信区间.
(已知)
九. 设某元件的寿命(小时)～,过去该产品的平均寿命为190小时,现改进生产设备后测得16只新元件的平均寿命为小时,相应的样本标准差s=98.在显著性水平0.05下检验改进生产设备后的产品是否好于过去(要求保证犯下列错误的概率不超过0.05:实际上改进后好于过去但却做出了相反的判断).
(已知)
【思考:如果没有括弧中的要求,此题会怎么样.】
附九:现有两种测量物体长度的仪器A和B, 现用两仪器测量9只长短不一的粉笔,得到如下数据:
粉笔只数标号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A测得的数据
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
B测得的数据
0.11
0.21
0.52
0.32
0.78
0.59
0.68
0.77
0.89
如果两仪器的精良程度一致,那么测同一粉笔所引起的误差完全是随机的,故该误差应该在零附近波动,所以可认为这样的随机误差服从均值为零的正态分布.现根据上面的测量结果能否在显著性水平0.01下判断A和B的精良程度显著不同.
(已知)
十*. 每天早晨甲同学都看到乙同学在球场上练习投篮,甲同学记录了乙同学100天的投篮次数分布如下:
投篮次数
1
2
3
相应天数
54
42
4
在显著性水平0.05下检验乙同学是否每天直到第一次投中后才停止投篮(假设每次投篮完全相同且独立).(已知)
提示与要求:(1)设乙同学的投篮命中率为p, 由此写出分布律假设;(2)求p的最大似然估计值;(3)用分布拟合法检验假设,要求把总体的取值分成三个子集:"X=1","X=2","X=3"和"X4".
【思考:如果不规定将总体的取值分成那样的四个子集,此题结果如何.】
思考题:抛硬币试验,观察正(H),反(T)面出现的情况.定义P(H)=2/3, P(T)=1/3,P(H或T)=1,按概率的定义问它是否定义了该样本空间上的一个概率. 由此思考概率的抽象定义所存在的问题.
出题者申明:
该复习题中一部分参考了上海大学概率统计的考试题,特别是那些不严格甚至错的考试题.
该复习题中的某些题为出题人所创.
鉴于上述原因,请各位不要任意公开或转载此套复习题,以免引起不必要的麻烦,但欢迎讨论.
出题人:黄德斌博士(上海大学数学系)
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考