数学问题

Question

为什么 n→0＋lim arctan(1/x)等于 二分之π？{n→0＋lim意思是当n趋近于零的右极限}

Answer 1

解答:

1、先计算一下tanx的趋势：
tan 50°= 1.191753
tan 70°= 2.747477
tan 80°= 5.671282
tan 85°= 11.43005
tan 88°= 28.63625
tan 89°= 57.28996
tan 89.5°= 114.58865
tan 89.9°= 572.95721
tan 89.99°= 5729.57789
tan 89.999°= 57295.77951
tan 89.9999°= 572957.7951
tan 89.99999°= 5729577.951
tan 89.999999°= 57295779.51
tan 89.9999999°= 572957795.1
tan 89.99999999°= 5729577951
tan 89.999999999°= 5.729577951×10¹°
tan 89.9999999999°= 5.729577951×10¹¹
tan 89.99999999999°= 5.729577951×10¹²
.....................................................

从上面我们可以看到，x→90°时，tanx→∞。
反过来讲，就是 arctanx，当x→∞时，arctanx→90°

这里要注意三个问题：
第一：微积分中，三角函数必须使用弧度值，上面为了说明问题，用了角度制。
如果使用角度制，也是可以的，但是每个公式都没有如此简洁。
第二：上面的x是从小于90°，而趋向于90°，这称为左极限。
右极限如何呢？请看下面的数据：
tan 130°= -1.191753
tan 110°= -2.747477
tan 100°= -5.671282
tan 95° = -11.43005
tan 92° = -28.63625
tan 91° = -57.28996
tan 90.5°= -114.58865
tan 90.1°= -572.95721
tan 90.01°= -5729.57789
tan 90.001°= -57295.77951
tan 90.0001°= -572957.7951
tan 90.00001°= -5729577.951
tan 90.000001°= -57295779.51
tan 90.0000001°= -572957795.1
tan 90.00000001°= -5729577951
tan 90.000000001°= -5.729577951×10¹°
tan 90.0000000001°= -5.729577951×10¹¹
tan 90.00000000001°= -5.729577951×10¹²
.....................................................
这说明，左右极限是不一样！！
可是，我们平时却个个都说，当x→90°，tanx→+∞，而不是-∞！
这也是我们的惯例，约定俗成，只考虑主值。
严格来说，个个都错了。
但是就这么定了！法不压众，任何人回天无力！
第三：在90°处如此，在270°处、450°处、630°处、、、、，都是如此！
同样，我们的习惯是只说90°，即½π，这也是我们的习惯。

2、回到本题
x→0+，1/x→+∞，arctan(1/x)→+½π，一切顺理成章。
其实这只是人为的规定，规定于主值的结果。是结果之一，而不是全部！

一般学生，都会自作解人，以为是唯一正确的结果，其实错了。

楼主需要细心，就会学的比别人好。别人通常想当然的结果，我们也推敲推敲！不随随便便人云亦云。

Answer 2

Answer 3

应该是n→0＋lim arctan(1/n)吧，变量是n，当n从右边趋近于0时，1/x的值是趋近于正无穷大的，根据反比例函数的图像。
arctan是tan的反函数，这个问题可以看成是在什么情况下，tan 的值趋近于正无穷大，答案就是π/2+kπ，k是整数