群、环、域都是满足一定条件的集合,可大可小,可可数 也可 不可数,一个元素可以是群『0』,三个也可以『0,1,-1』,可数的:以整数为系数的多项式(可以验证也是环),当然R也是;环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算,域的条件更强(除0元可逆),常见的一般是数域,也就是:整数,有理数,实数,复数。 其实环和域上所谓的乘法不一定就是通常说的乘法,例子相信你的书上应该有,我们只是叫它乘法而已。 只能说到这儿了,你应该是想知道一些具体的例子,定义应该是蛮清楚的。
群,环,域都是集合,在这个集合上定义有特定元素和一些运算,这些运算具有一些性质。群上定义一个运算,满足结合律,有单位元(元素和单位元进行运算不变),每个元素有逆元(元素和逆元运算得单位元) 例整数集,加法及结合律,单位元0,逆元是相反数, 正数集,乘法及结合律,单位元1,逆元是倒数 环是一种群,定义的群运算(记为+)还要满足交换律。另外环上还有一个运算(记为×),满足结合律,同时有分配律a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc,由于×不一定有交换律,所以分开写。 例整数集上加法和乘法。 域是一种环,上面的×要满足交换律,除了有+的单位元还要有×的单位元(二者不等),除了+的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法,单位元0,1。
循环群+群生成元:如果存在一个元素a属于G,对任一属于G的元素b,都存在一个整数i>=0,使得b=a^i,则群G就称为循环群,元素a称为G的一个生成元,G也称为由a生成的群。当一个群由a生成的时候,记做G=<a>。
有限群G中元素个数称为G的阶,记为#G。
阿贝尔群是交换群,即有群中元素a*b=b*a,*是群操作。
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