已知椭圆C：x2＋2y2＝4． （1）求椭圆C的离心率； （2）设O为原点，若点A

Question

已知椭圆C：x2＋2y2＝4．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
 

Answer 1

(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1。
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2。
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝。
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0。
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－。
又x＋2y＝4，所以
|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0＜x≤4)。
因为＋≥4(0＜x≤4)，
且当x＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8。
故线段AB长度的最小值为2。