积分π/2到π/3 [1-(sinθ)^2]cosθdθ怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

心脏线关于 x 轴（极轴）对称，只需一半的曲线即可，即可令 0≤θ≤π； V=∫π(ρsinθ)2dx={0,2π/3}∫π(ρsinθ)2d(ρcosθ)-{2π/3,π}∫π(ρsinθ)2d(ρcosθ) =π∫[a(1+cosθ)]2d[a(1+cosθ)cosθ]……{0,2π/3}+{π,2π/3,} =-πa3∫(1+cosθ)2(sinθ+2cosθsinθ)dθ =πa3∫[(1+cosθ)2(1+2cosθ)d(cosθ) =πa3∫(1+u)2(1+2u)du……u=cosθ，-1≤u≤1； =πa3{(1+u)3(1+2u)/3-[(1+u)2]2/6}|{-1/2,1}+{-1/2,-1} =16πa3/3+2*πa3(1/64) =(16+1/32)πa3；