高中数学的函数

Question

高中数学求函数值域方法，最好有例题和技巧的！

Answer 1

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到
如：f(x)=x²+1. (1≤x≤2）
显然2≤f(x)≤5

2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
如：求函数f(x)=x²+2x+9的值域，其中x∈【-1,1】
则配方为f(x)=(x+1)²+8，
显然，当x=-1时得到最小值f(-1)=8
当x=1时得到最大值f(1)=12
所以值域为【8,12】

3. 判别式法
如：求函数f(x)=x²+2x+9的值域，其中x∈R
则由题意知方程x²+2x+9-f(x)=0有实数解。由判别式：
△=b²-4ac=2²-4*1*【9-f(x)】≥0
解得：f（x）≥8,即值域为【8，+∞】
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域

6. 函数单调性法

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用
如：求函数y=x+根号（1-2x)的值域
令 根号(1-2x)=t(t≥0),则x=(1-t²）/2
∵y=(1-t²）/2+t=(t－1)/2+1≤1
∴值域为(－∞,1].

8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目

9. 不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧
如：求函数f(x)=x+1/(x+2)的值域，其中x≥-1。
利用不等式a+b≥2√ab （a=b时“=”成立)
由题意：f(x)=x+1/(x+2)
=（x+2)+1/(x+2) -2
≥2-2 【当且仅当（x+2)=1/(x+2)，即x=-1时“=”成立】
=0
所以f(x)≥0，即值域为【0，+∞】
10. 一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围

11. 多种方法综合运用

Answer 2

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到

Answer 3

记住一些口诀，希望对你有帮助；
函数值域不算难，分析题型是关键；二次函数配方法，复合无理用换元；
一次分式反函数，分离常数常遇见；二次分式判别式，部分分式二者全；
均值不等要构造，数形结合最简单；三角指函有界性， 单调奇偶才算完。
高中数学求值域问题基本都能解决，细心研究。有问题Q我：1170491969

Answer 4

我是一名高中教师，我觉得学习函数应该从直观到理性。
先去分析一些课本上简单的例题，然后去分析一些联系，
在这个过程中去积累，其实并不难，等积累了一定的数量时，你再去总结，我觉得这样比较好，记住 欲速则不达。
祝你成功。