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Question

设x/a+y/b+z/c=1，且a/x+b/y+c/z=0证明：x平方/a平方+y平方/b平方+z平方/c平方=1
“/”号代表分数线！！急

Answer 1

⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a*2+1/2变成2(a*2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a*2-b*2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a*2±2ab＋b*2＝(a±b)*2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a*3+b*3=(a+b)(a*2-ab+b*2)；
立方差公式：a*3-b*3=(a-b)(a*2+ab+b*2)；
完全立方公式：a*3±3a*2b＋3ab*2±b*3=(a±b)*3．
其余公式请参看上边的图片。
例如：a*2 +4ab+4b*2 =(a+2b)*2(参看右图)．
（3）分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
[编辑本段]竞赛用到的方法

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2. x^3-x^2+x-1
解法：=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。
①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx²+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
×
c d
例如：因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5)．

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；
2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b

Answer 2

令m=x/a,n=y/b,p=z/c
即m+n+p=1
1/m+1/n+1/p=0
证m^2+n^2+p^2=1
又m^2+n^2+p^2=（m+n+p）^2-2mn-2mp-2np
即证-2mn-2mp-2np=0
即mn+mp+np=0
又1/m+1/n+1/p=0，两边同乘mnp得mn+mp+np=0
所以得证
希望你能明白本回答被提问者采纳

Answer 3

设m=x平方/a平方+y平方/b平方+z平方/c平方

把x/a+y/b+z/c=1两边平方得
m+2(cxy+bxz+ayz)/abc=1 (1)

把a/x+b/y+c/z=0分母通分得
(ayz+bxz+cxy)/xyz=0
所以ayz+bxz+cxy=0 (2)

把（2）代入（1）得 m=1
即 x平方/a平方+y平方/b平方+z平方/c平方=1

得证。

Answer 4

令m=x/a,n=y/b,p=z/c
即m+n+p=1
1/m+1/n+1/p=0
证m^2+n^2+p^2=1
又m^2+n^2+p^2=（m+n+p）^2-2mn-2mp-2np
即证-2mn-2mp-2np=0
即mn+mp+np=0
又1/m+1/n+1/p=0，两边同乘mnp得mn+mp+np=0
所以得证

Answer 5

因为m=x/a,n=y/b,p=z/c
即m+n+p=1
1/m+1/n+1/p=0
证m^2+n^2+p^2=1
又m^2+n^2+p^2=（m+n+p）^2-2mn-2mp-2np
即证-2mn-2mp-2np=0
即mn+mp+np=0
又1/m+1/n+1/p=0，两边同乘mnp得mn+mp+np=0

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