函数单调性的加减乘除

Question

如题所述

Answer 1

单调递增的加单调递增的”函数的单调性是增

单调递减的加单调递减的”函数的单调性是减

单调递增的减单调递减的”函数的单调性是增

单调递减的减单调递增的”函数的单调性是减

乘与除的都无法确定。

单调函数

一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则

如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。

Answer 2

图像上升或下降的趋势引出函数单调性及单调区间。

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

以上内容参考百度百科——单调性

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Answer 3

在数学中，函数的单调性描述了函数曲线上各点的增减关系。以下是常见的四种基本运算对函数单调性的影响：

1. 加法：如果对于函数f(x)，对于任意的x1和x2（其中x1 < x2），如果 f(x2) - f(x1) ≥ 0 成立，那么函数f(x)是递增的；如果 f(x2) - f(x1) ≤ 0 成立，那么函数f(x)是递减的。

2. 减法：如果对于函数f(x)，对于任意的x1和x2（其中x1 < x2），如果 f(x2) - f(x1) ≥ 0 成立，那么函数f(x)是递减的；如果 f(x2) - f(x1) ≤ 0 成立，那么函数f(x)是递增的。

3. 乘法：如果对于函数f(x)，对于任意的x1和x2（其中x1 < x2），如果 f(x2)/f(x1) ≥ 0 成立，则函数f(x)在定义域上是递增的；如果 f(x2)/f(x1) ≤ 0 成立，则函数f(x)在定义域上是递减的。

4. 除法：如果对于函数f(x)，对于任意的x1和x2（其中x1 < x2），如果 f(x2)/f(x1) ≥ 0 成立，则函数f(x)在定义域上是递增的；如果 f(x2)/f(x1) ≤ 0 成立，则函数f(x)在定义域上是递减的。需要注意的是，除法要求分母不能为0。

需要注意的是，以上规则适用于函数的局部单调性，即在某个特定区间内。若要判断整个定义域上的单调性，还需要考虑函数的其他性质和特点。

Answer 4

有规律的是：单调递增的加单调递增的”函数的单调性是增
单调递减的加单调递减的”函数的单调性是减
单调递增的减单调递减的”函数的单调性是增
单调递减的减单调递增的”函数的单调性是减
乘与除的都无法确定
还有复合函数的：1.内层与外层单调性相同的为增
2.内层与外层单调性不同的为减
正所谓：同增异减
参考资料:
关于奇偶性:
1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
2)奇偶性相同的两个函数的积、商(分母不为0)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积、商(分母不为0)为奇函数.
关于单调性:
1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
2)c>0时,函数f(x)与c*f(x)具有相同的单调性;c<0时,函数f(x)与c*f(x)具有相反的单调性.
3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
4)若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数.则f(x)*g(x)也是增(减)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数.则f(x)*g(x)是减(增)函数

Answer 5

函数的单调性与加减乘除运算之间存在一定的关系，具体如下：
1.加法：如果一个函数在定义域内的任意两个点上，前者的函数值小于后者的函数值，即 f(x1) < f(x2)，那么函数在该定义域上是递增的。反之，如果 f(x1) > f(x2)，那么函数在该定义域上是递减的。
2.减法：减法运算可以转化为加法运算。例如，对于函数 f(x) 和 g(x)，如果 f(x) - g(x) 在定义域上是递增的，则 f(x) 在该定义域上是递增的。同理，如果 f(x) - g(x) 是递减的，则 f(x) 是递减的。
3.乘法：如果一个函数在定义域内的任意两个点上，前者的函数值乘积小于后者的函数值乘积，即 f(x1) * f(x2) < 0，那么函数在该定义域上是递减的。反之，如果 f(x1) * f(x2) > 0，那么函数在该定义域上是递增的。需要注意的是，乘法的情况可能比较复杂，特别是当函数值和乘积都可以为负数时，需要更详细的分析。
4.除法：除法运算可以转化为乘法运算。例如，对于函数 f(x) 和 g(x)，如果 f(x) / g(x) 在定义域上是递增的，并且 g(x) 不为零，则 f(x) 在该定义域上是递增的。同理，如果 f(x) / g(x) 是递减的，并且 g(x) 不为零，则 f(x) 是递减的。
需要注意的是，以上只是一般情况下的规律，具体分析函数的单调性时，还需要考虑函数的定义域、导数或导数的正负等相关因素。