第1个回答 2020-08-22
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不出意外,应该是这样
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第2个回答 2020-08-22
作辅助平面Σ':z=h,x²+y²≤4h²,取上侧
则Σ和Σ'刚好可以组成一个封闭曲面,运用高斯公式得
∫∫(Σ+Σ') xdydz+2ydzdx+3zdxdy
=∫∫∫Ω 6dV=∫∫Σ+∫∫Σ'
所以∫∫Σ' xdydz+2ydzdx+3zdxdy
= 6∫∫∫ΩdV-∫∫Σ'(xdydz+2ydzdx+3zdxdy)
=6∫∫∫ΩdV-∫∫Σ' 3hdxdy
=6×1/3×π×(2h)²×h-3h×π×(2h)²
=-4πh³
第3个回答 2020-08-22
补充 z = h 与锥面的截面,这样就可以用高斯定理。
原积分 = 6 * 锥体的体积 - 3h * (z = h 与锥面的截面的面积)
第4个回答 2020-08-22
补充平面 ∑1:z = h (x^2+y^2 ≤ 4h^2), 取上侧,则
I = ∯<∑+ ∑1> - ∫∫<∑1>, 前者用高斯公式, 后者 z = h, dz = 0
I = ∫∫∫<Ω>6dv - 3h∫∫<D>dxdy = 2πh(4h^2) - 3hπ(4h^2) = -4πh^3