等差数列和等比数列的求和公式是什么?

Question

如题所述

Answer 1

1.等差数列和公式 ：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d 

2.等比数列求和公式 ：q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，q=1时Sn=na1 

下面用数学归纳法证明Sn=na1+n(n-1)d/2和Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)

（一）等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2证明(1)n=1,S1=a1，成立。(2)设Sk=ka1+k(k-1)d/2,则S(k+1)=Sk+a(k+1)=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd=(k+1)a1+(k+1)kd/2所以n=k+1也成立。所以等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2。

（二）等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)证明：(1)n=1,S1=a1成立，(2)设Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q)。S(k+1)=Sk+a(k+1)=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)所以n=k+1时公式仍成立。所以等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)。