求解答这道高数题，相关极限和定积分

Question

求解答这道高数题，相关极限和定积分的知识，求大神解答

Answer 1

用洛必达法则，分子分母同时求导。具体过程你自己求，知识点我告诉你。

等价无穷小：

变限积分求导公式及其推导：

应该不难了吧？

Answer 2

如图所示

追问

您好，能不能再详细一点，积分号是怎么算出来的，有点看不懂

追答

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Answer 3

考虑到分母有理化，因为(1+x³)=[(1+x³)^1/3]³
所以，(1+x³)-1=[(1+x³)^1/3-1]·[(1+x³)^2/3+(1+x³)^1/3+1]
所以原式=lim<x→0>[∫<0,sin²x>ln(1+t)dt]·[(1+x³)^2/3+(1+x³)^1/3+1]/[(1+x³)-1]sinx
=lim<x→0>[3∫<0,sin²x>ln(1+t)dt]/(x³·sinx)
=3lim<x→0>[∫<0,sin²x>ln(1+t)dt]/x^4
=3lim<x→0>[ln(1+sin²x)·2sinxcosx]/(4x³)——罗必塔
=3lim<x→0>ln(1+sin²x)/(2x²)
=3lim<x→0>sin²x/(2x²)
=3×(1/2)
=3/2

Answer 4

这是参考过程