关于几道因式分解的问题（要解答过程）谢谢

Question

因为不可以显示平方，所以X得平方我就写成X2，希望各位朋友会看哦~！！

问题如下……请懂的的朋友解答一下哦！！谢谢！！

1.K喂何值时，多项式X2+XY-2Y2（这个是2Y的平方）+8X+10Y+K有一个因式是X+2Y+2？（K=12。不知道怎么来……）

2对于任意自然数N，（n+7)2(n+7的平方哟)-(N-5)2是否能被24整除（这个是N-5的平方呃……以下默认……）为什么？（可以，但我要原因。嘻嘻）

3已知M,N都为自然数，且M(M-N)-N(N-M)=12，求M.N。（本题M=4,N=2）

4.利用因式分解化简多项式……：1+X+X（1+X）+X（1+X）2+（这个2依旧是平方）+……+X（1+X)1999 （是1999次方哦。。就是这样一次类推）
【这题目的答案是 （1+X）2000 （2000次方）】

5已知二次三项式 9X2-（M+6）X+M-2是一个完全平方式，求M的值。
（M1=6，M2=18）

6.已知X2+5X-990=0.试求：X3+6X2-985X+1008的值。（答案：1998）

以上这些就是我提问的问题~~希望朋友们能为我解答一下~~我感激不尽！！

谢谢各位朋友了~~~我急用哦~~~麻烦大家乐！！！再次感谢！！！希望大家能

给我尽量详尽的解答过程~~且尽量用初中的方法不要用太高深的~~呵呵！！

再次鞠躬！！！！！！！！

Answer 1

1.K喂何值时，多项式X2+XY-2Y2（这个是2Y的平方）+8X+10Y+K有一个因式是X+2Y+2？（K=12。不知道怎么来……）
因为原式有一个因式是x+2y+2
所以当x=0，y=-1（这时x+2y+2=0）时，原式的值为0，代入可得-2-10+k=0，k=12

2对于任意自然数N，（n+7)2(n+7的平方哟)-(N-5)2是否能被24整除（这个是N-5的平方呃……以下默认……）为什么？（可以，但我要原因。嘻嘻）
(n+7)^2-(n-5)^2
=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]
=24(n+1)
因此，当n为自然数时，原式的值可以被24整除。

3已知M,N都为自然数，且M(M-N)-N(N-M)=12，求M.N。（本题M=4,N=2）
M(M-N)-N(N-M)=12，即(m+n)(m-n)=12
因为M,N都为自然数，所以m+n,与m-n有相同的奇偶性，且m+n>m-n,
所以m+n=6,m-n=2
m=4,n=2

4.利用因式分解化简多项式……：1+X+X（1+X）+X（1+X）2+（这个2依旧是平方）+……+X（1+X)1999 （是1999次方哦。。就是这样一次类推）
【这题目的答案是 （1+X）2000 （2000次方）】
1+X+X（1+X）+X（1+X）2+（这个2依旧是平方）+……+X（1+X)1999
=(1+x)^2+x(1+x)^2+……+x(1+x)^1999（逐步结合，提公因式，从前到后）
=（1+x）^3+……+x(1+x)^1999=……
=(1+x)^2000

5已知二次三项式 9X2-（M+6）X+M-2是一个完全平方式，求M的值。
（M1=6，M2=18）
这时：（m+6）^2=4×9×(m-2)
m^2-24m+108=0
m1=6,m2=18

6.已知X2+5X-990=0.试求：X3+6X2-985X+1008的值。（答案：1998）
因为X2+5X-990=0……(1)
所以x^3+5x^2-990x=0,……(2)
两式相加得x^3+6x^2-985x-990=0
所以：X3+6X2-985X+1008
=990+1008=1998

Answer 2

1.K为何值时，多项式X²+XY-2Y²+8X+10Y+K有一个因式是X+2Y+2？
解：此类题一般用待定系数法。
由于X²+XY-2Y²=(X-Y)(X+2Y)
因此可设X²+XY-2Y²+8X+10Y+K=(X-Y+a)(X+2Y+b)
展开后得：X²+XY-2Y²+8X+10Y+K=X²+XY-2Y²+(a+b)X+(2a-b)Y+ab
比较一次项系数可知：a+b=8,2a-b=10,解得：a=6,b=2
因此，K=ab=12

2.对于任意自然数n,(n+7)²-(n-5)²是否能被24整除,为什么？
解：由于(n+7)²-(n-5)²=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=24(n+1)
所以,(n+7)²-(n-5)²能被24整除

3.已知M,N都为自然数，且M(M-N)-N(N-M)=12，求M,N.
解：由于M(M-N)-N(N-M)=M²-MN-N²+MN=(M+N)(M-N)=12=12×1=6×2=4×3
因此，可分三种情况
第一种：M+N=12,M-N=1，解得：M=13/2,N=11/2(不是自然数，舍去）
第二种：M+N=6,M-N=2，解得：M=4,N=3
第三种：M+N=4,M-N=3，解得：M=7/2,N=5/2(不是自然数，舍去）
所以，M=4,N=3

4.利用因式分解化简多项式……：1+X+X（1+X）+X（1+X)²+……+X（1+X)^1999
解：由于X+X（1+X）+X（1+X)²+……+X（1+X)^1999是一个首项为X,公比为(1+X)的等比数列，用求和公式得：
X+X（1+X）+X（1+X)²+……+X（1+X)^1999
＝X[1-(1+X)^2000]/[1-(1+X)]
＝(1+X)^2000-1
所以1+X+X（1+X）+X（1+X)²+……+X（1+X)^1999＝(1+X)^2000

5.已知二次三项式 9X²-（M+6）X+M-2是一个完全平方式，求M的值。
解：由于9X²-（M+6）X+M-2是一个完全平方式，则其判别式为0
即：(M+6)²-36(M-2)=0
M²-24M+108=0
(M-6)(M-18)=0
所以，M=6或M=18

6.已知X²+5X-990=0.试求：X^3+6X²-985X+1008的值。（答案：1998）
解：X^3+6X²-985X+1008
＝X^3+5X²-990X+X²+5X+1008
＝X(X²+5X-990)+(X²+5X-990)+1998
＝1998