如图,矩形abcd中,ab=10,bc=8

Question

如图1，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E是AB边上一点，过E作EF⊥CE，交AD于点F． （1）求证：△EFA∽△CEB； （2）如果AE=6，求AF的长； （3）在（2）条件下，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，如图2，连接CF，问在y轴上是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 见图一 见图二

Answer 1

（1）证明：∵已知矩形ABCD和EF⊥CE， ∴∠A=∠B=90°，∠CEF=90°， ∴∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°， ∴∠BEC=∠AFE， ∴△EFA∽△CEB； （2）已知AE=6，AB=10，BC=8， ∴BE=4， ∵△EFA∽△CEB， ∴ AF BE = AE BC ， ∴ AF 4 = 6 8 ， ∴AF=3； （3）存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似， 因为由（1）得出∠PAB=∠FEC=90°， 在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得： FE= AF2+AE2 = 32+62 =3 5 ， EC= BE2+BC2 = 42+82 =4 5 ， ①若△BAP∽△CEF，得： BA CE = AP EF ∴ 10 4 5 = AP 3 5 ， ∴PA=7.5， 所以点P的坐标为：（0，±7.5）． ②若△PAB∽△CEF，得： PA CE = AB EF ， 即 PA 4 5 = 10 3 5 ， ∴PA= 40 3 ， 所以点P坐标为（0，± 40 3 ）．