将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点

Question

将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°；

（2）∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，

∠PDM=∠CDN ∠CPD=∠BCD

，
∴△DPM∽△DCN，
∴

PM

CN

=

PD

CD

，
∵

PD

CD

=tan∠ACD=tan30°=

3

3

，
∴

PM

CN

的值不随着α的变化而变化，是定值

3

3

．