平面向量夹角问题

Question

已知a向量的模为1，b向量的模为2，a向量垂直于（a向量+b向量），则a向量与b向量的夹角为多少度？

Answer 1

因为a向量垂直于（a向量+b向量），
所以a*(a+b)=0
a^2+a*b=0
|a|^2+|a||b|*cos<a,b>=0
即1^2+2*1*cos<a,b>=0
cos<a,b>=-1/2
所以夹角为120度。

Answer 2

向量点乘的公式
a点乘b=|a|*|b|*cos<a,b>
由a向量垂直于（a向量+b向量），可得 a（a+b）=0 推出 |a|^2+a点乘b=0 因为|a|^2=1 所以a点乘b=-1
由于a点乘b=|a|*|b|*cos<a,b> |a|*|b|=1*2=2 所以cos<a,b>=-1/2 解之得a向量与b向量的夹角为120度

Answer 3

由题意的a*（a+b）=0，有分配律的a*a+a*b=0，此式等于|a|*|a+|a|*|b|cosθ=0（θ为a和b的夹角），由题意的a向量的模为1，b向量的模为2，代入式中得cosθ=-0.5 则θ=120度。

Answer 4

设c点坐标为（x,y)
1.所以向量BC=向量OC-向量OB=（X+1，Y-2）
又因为向量BC‖向量OA
所以-2（X+1）-6（Y-2）=0
2.因为向量OC⊥向量OB
所以向量OC乘以向量OB=0
即-X+2Y=0