M是丨a十b丨与丨a一b丨与丨b一1l中最大的,求M的最小值

Question

如题所述

Answer 1

要求 M 的最小值，我们需要找到丨a十b丨、丨a一b丨和丨b一1l 中的最大值。
首先，丨a十b丨表示 a 和 b 的绝对值之差，丨a一b丨表示 a 和 b 的绝对值之和，丨b一1l表示 b 和 1 的绝对值之差。
我们可以观察到，当 a 和 b 的绝对值相等时，丨a十b丨和丨a一b丨的值相等，而丨b一1l 的值小于丨a十b丨和丨a一b丨。
因此，要使 M 的值最小，我们需要使 a 和 b 的绝对值相等，并且取绝对值之差。
假设 a 和 b 的绝对值相等，且取绝对值之差，即 a = |x|，b = |-x|（x 为非零实数）。
那么，丨a十b丨 = |a - b| = |x - (-x)| = |2x| = 2|x|，
丨a一b丨 = |a + b| = |x + (-x)| = |0| = 0，
丨b一1l = |b - 1| = |-x - 1| = |-(x + 1)| = |x + 1|。
因为 x 是非零实数，所以 |x + 1| 总是大于 0，丨b一1l 的最小值为正数。
综上所述，M 的最小值为 0，当且仅当 a 和 b 的绝对值相等且取绝对值之差。

Answer 2

(|a+b|)^2-(|a-b|)^2=4ab=0,a=0或b=0.
(|a+b|)^2-(|b-1|)^2
=a^2+2ab+2b-1=0,①
把a=0代入①，得b=1/2,M=1/2;
把b=0代入①，得a=土1，M=1.
所以M的最小值是1/2.