初中几何证明题

Question

如图：等腰三角形ABC，AB=AC，E是三角形ABC高AD的中点，DM垂直BE于M点，连接AM和CM，求证：AM⊥CM。

Answer 1

可以用三角形相似吗？
连接CD，可以证明三角形DEM与三角形CED相似，
所以有，MD/ME=CD/DE=CD/AE
即，MD/CD=ME/AE
易证，角BED=角BDM
所以，角AEM=角MDC
所以，三角形MEA与三角形CDM相似
所以，角MAD=角DCM
所以，角MAC+角MCA=(角MAD+角DAC)+(角ACD-角DCM)=角DAC+角ACD=90度
即，MC与MA垂直。

Answer 2

 

江苏吴云超解答　供参考！

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Answer 3

为了证明垂直，必须证明△AME相似于△CMD，这样∠CMD=∠AME；

因为∠CMD+∠EMC=90°，所以∠AME+∠EMC=90°，所以AM⊥CM。
步骤：
直角△EMD相似于直角△EDB，则ED\EB=EM\ED=MD\BD；
而D是BC的中点，BD=DC;E是AD的中点，AE=ED；
根据等式EM\ED=MD\BD,分子分母对换则BD\ED=MD\EM，所以DC\AE=MD\EM;
△AME相似于△CMD