1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明:
(n+1)³=n³+3n²+3n+1
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
...
3³-2³=3*2²+3*2+1
2³-1³=3*1²+3*1+1
两边分别相加得
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1*n
(n³+3n²+3n)-3n(n+1)/2-n=3Sn
3Sn=n(2n²+3n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
公式法
等差数列求和公式:
（首项+末项）×项数/2
举例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9/2=45
等比数列求和公式：
差比数列求和公式：
a:等差数列首项
d:等差数列公差
e:等比数列首项
q:等比数列公比
其他
错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）
{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例如：
______①
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可变形为
Sn为{bn}的前n项和.
此形式更理解也好记
倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an-1+an-2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2