如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，∠BDC=90°．（1）若CD=2BD，M是CD中

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，∠BDC=90°．（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：证明：设AB与CD相交于点O，∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．∵∠DOB=∠AOC，∴∠DBO=∠①______．∵M是DC的中点，∴CM=12CD=②______．又∵AB=AC，∴△ADB≌△AMC．（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以DN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．

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推荐答案 2015-01-31

（1）由题意，得
①根据直角三角形的性质就可以得出∴∠DBO=∠MCA（或∠ACO）；
②由等式的性质就可以得出CM=BD；
故答案为：∠MCA，BD；
（2）存在
理由：如图3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，

AC＝AB

∠ACD＝∠ABN

CD＝BN

，
∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形；
（3）①当CD＜BD时，

AD=BD-CD．
理由：如图3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，

AC＝AB

∠ACD＝∠ABN

CD＝BN

，

∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形；
∴ND=

AD．
∵ND=BD-BN，
∴ND=BD-CD，
∴

AD=BD-CD
②当CD＞BD时，

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