高数，对弧长的曲面积分，不知道-2是怎么算出来的

Question

如题所述

Answer 1

因为是整个边界，所以要分成三段来算的，

你只算了一段圆弧，还有y=x和y=0那两段没算。

y=x那段L1，ds=√[1+(y'x)^2] dx=√2 dx

∫L1 e^(√x^2+y^2)dS=∫L1 e^(√(2x^2)) √2 dx=∫(0->a/√2) e^(√2x)d(√2x)=(e^a)-1

y=0那段L2，ds=dx

∫L2 e^(√x^2+y^2)dS=∫L2 e^xdx=∫(0->a) e^xdx=(e^a)-1

圆周的那段L3

∫L3 e^(√x^2+y^2)dS=(e^a) ∫L3 dS=e^a (2πa/8)=πae^a/4

所以原积分
=∫L1+L2+L3
=(e^a)-1+(e^a)-1+πae^a/4
=e^a(2+πa/4) -2