已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值

Question

已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．

Answer 1

（1）单调增区间是 ，单调减区间是 （2）当0<a<ln2时，最小值是－a；当a≥ln2时，最小值是ln2－2a.

①知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域； ②先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； ③由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论． 规范(1)f′(x)＝ －a(x>0)．(1分) ①当a≤0时，f′(x)＝ －a≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．(3分) ②当a>0时，令f′(x)＝ －a＝0，得x＝ ，当0<x< 时，f′(x)＝ >0，当x> 时，f′(x)＝ <0，所以函数f(x)的单调增区间是 ，单调减区间是 .(6分) (2)①当 ≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数， 所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分) ②当 ≥2，即0<a≤ 时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数， 所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分) ③当1< <2，即 <a<1时，函数f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数， 又f(2)－f(1)＝ln2－a， 所以当 <a<ln2时，最小值是f(1)＝－a； 当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分) 综上可知，当0<a<ln2时，最小值是－a； 当a≥ln2时，最小值是ln2－2a.(14分)