高中数学 圆锥曲线 高手帮帮忙

Question

已知点P是椭圆x²/16 + y²/8 = 1 （xy≠0）上的动点，F1 F2为椭圆的左右焦点，O为坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且向量F1M点乘向量F2M=0 则 |向量OM| 的取值范围是 A (0，3) B (2√3 ，3) C(0，4) D(0,2√2) 麻烦告诉一下是怎么解得啊 谢谢啦

Answer 1

【【【1】】】由向量F1M•MP=0可知，F1M⊥MP，其中，点M是垂足。
【①】当点P在y轴的右半部时，延长F1M，交PF2的延长线于点N，
∵∠F1PM=∠NPM（角的平分线定义）且F1N⊥PM（已知），PM=PM（公共边）
∴Rt⊿F1PM≌Rt⊿NPM.(A•S•A)
∴PF1=PN.
同时可知，F1M=MN。
又PF1=PN=PF2+F2N。
∴F2N=PF1-PF2.
在⊿F1F2N中，由OF1=OF2，F1M=MN可知，OM=F2N/2.(三角形中位线性质定理)
∴OM=（PF1-PF2）/2
【②】当点P在y轴的左半部时，延长F1M，交PF2于点N，
与上面同理，可以证得：OM=（PF2-PF1）/2.
综上可知，模|OM|就等于点P到两个焦点距离之差的一半。
即|OM|=||PF1|-|PF2||/2
【③】由椭圆定义可知，|PF1|+|PF2|=2a=8.
∴|PF1|=8-|PF2|.
∴|OM|=|8-2|PF2||/2=|4-|PF2||
【【【2】】】由题设可知，点P(x,y)是椭圆(x²/16)+(y²/8)=1上的一动点，(xy≠0)
其中a=4,b=c=2√2.
数形结合可知a-c＜|PF2|＜a+c.且|PF2|≠a.(否则点P就在上下两个顶点上)
即4-2√2＜|PF2|＜4+2√2,且|PF2|≠4.
∴-2√2＜|PF2|-4＜2√2.且|PF2|-4≠0.
∴0＜|OM|＜2√2.
即|OM|∈(0,2√2).
∴选D.