第1个回答 2020-04-24
【【【1】】】由向量F1M•MP=0可知,F1M⊥MP,其中,点M是垂足。
【①】当点P在y轴的右半部时,延长F1M,交PF2的延长线于点N,
∵∠F1PM=∠NPM(角的平分线定义)且F1N⊥PM(已知),PM=PM(公共边)
∴Rt⊿F1PM≌Rt⊿NPM.(A•S•A)
∴PF1=PN.
同时可知,F1M=MN。
又PF1=PN=PF2+F2N。
∴F2N=PF1-PF2.
在⊿F1F2N中,由OF1=OF2,F1M=MN可知,OM=F2N/2.(三角形中位线性质定理)
∴OM=(PF1-PF2)/2
【②】当点P在y轴的左半部时,延长F1M,交PF2于点N,
与上面同理,可以证得:OM=(PF2-PF1)/2.
综上可知,模|OM|就等于点P到两个焦点距离之差的一半。
即|OM|=||PF1|-|PF2||/2
【③】由椭圆定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=8.
∴|PF1|=8-|PF2|.
∴|OM|=|8-2|PF2||/2=|4-|PF2||
【【【2】】】由题设可知,点P(x,y)是椭圆(x²/16)+(y²/8)=1上的一动点,(xy≠0)
其中a=4,b=c=2√2.
数形结合可知a-c<|PF2|<a+c.且|PF2|≠a.(否则点P就在上下两个顶点上)
即4-2√2<|PF2|<4+2√2,且|PF2|≠4.
∴-2√2<|PF2|-4<2√2.且|PF2|-4≠0.
∴0<|OM|<2√2.
即|OM|∈(0,2√2).
∴选D.