由递推式求数列通项七例
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1递推公式为
解法：把原递推公式转化为
，利用累加法求解。
例1.已知数列
满足
，求
。
解：由条件知：
分别令
，代入上式得
个等式累加之，即
所以
又因为
所以
类型2递推公式为
解法：把原递推公式转化为
，利用累乘法求解。
例2.已知数列
满足
，求
。
解：由条件知
，分别令
，代入上式得
个等式累乘之，即
所以
又因为
，所以
。
类型3递推公式为
（其中p，q均为常数，
）。
解法：把原递推公式转化为：
其中
，再利用换元法转化为等比数列求解。
例3.已知数列
中，
，求
。
解：设递推公式
可以转化为
即
，所以
故递推公式为
令
，则
，且
所以
是以
为首项，2为公比的等比数列，则
所以
类型4递推公式为
（其中p，q均为常数，
）。
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
，得：
引入辅助数列
（其中
），得：
再应用类型3的方法解决。
例4.已知数列
中，
，求
。
解：在
两边乘以
得：
令
，则
应用例3解法得：
所以
类型5递推公式为
（其中p，q均为常数）。
解法：先把原递推公式转化为
其中s，t满足
，再应用前面类型的方法求解。
例5.已知数列
中，
，求
。
解：由
可转化为
即
所以
解得：
或
这里不妨选用
（当然也可选用
，大家可以试一试），则
所以
是以首项为
，公比为
的等比数列
所以
应用类型1的方法，令
，代入上式得
个等式累加之，即
又因为
，所以
。
类型6递推公式为
与
的关系式。
解法：利用
进行求解。
例6.已知数列
前n项和
。
（1）求
与
的关系；
（2）求通项公式
。
解：（1）由
得：
于是
所以
即
（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以
得：
由
，得：
于是数列
是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
故
类型7双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例7.已知数列
中，
；数列
中，
。当
时，
，求
。
解：因
所以
即
又因为
所以
即
由<1>、<2>得：
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