内积空间

Question

如题所述

Answer 1

设信号f（t）是能量有限的，t∈R（R表示实数域），并把全体能量有限信号（函数）f（t）的集合记为L²（R），即

地球物理信息处理基础

那么L²（R）就是一个函数线性空间。所谓“线性”和“空间”是指L²（R）中函数间线性运算的结果仍是L²（R）中的函数，即关于线性运算是自封闭的。这样，可将函数线性空间L²（R）简单描述为：

若f，g∈L²（R），a，β∈R，则af（t）+βg（t）=v（t）∈L²（R）。

在高等数学中，通常只研究单个函数。而在这里，函数线性空间则是把具有某种性质的函数进行归类研究。此时，可把L²（R）中的某个函数看作一个“点”或看作一个“向量”，这样便可引进并推广线性代数中的某些概念，如“向量内积”、“向量长度”、“向量正交”、“向量子空间”、“正交子空间”、“基底向量”等。

L²（R）中的内积运算定义为

地球物理信息处理基础

当g（t）是复函数时，

表示其共轭函数；当g（t）是实函数时，

；＜·，·＞表示内积符号。内积具有以下几个性质：

＜f，g＞=＜g，f＞

＜af₁+βf₂，g＞=a＜f₁，g＞+β＜f₂，g＞，a，β∈R

＜f，f＞≥0，当且仅当f=0时＜f，f＞=0

满足内积定义和性质的函数线性空间称为内积空间，L²（R）是内积空间。

L²（R）中函数正交的概念可描述为：对∀ f，g∈L²（R），若

＜f，g＞=0

则称f（t）和g（t）是正交的。

L²（R）中的模表示为

地球物理信息处理基础

式中‖·‖表示L²（R）空间的范数。若从向量角度来理解，模可以被看成是对函数向量长度的度量，可以度量两个函数向量的距离，如‖ f（t）‖可表示f（t）∈L²（R）和0∈L²（R）之间的距离，表示f（t）向量的长度；而‖ f（t）-g（t）‖可表示函数向量f（t）∈L²（R）和g（t）∈L²（R）之间的距离。若从物理角度来理解，则可以将模看成一种特定形式的能量，模是这种能量的度量标准。既然模可以用于度量向量，那么模就具有下述性质

‖f+g‖≤‖f‖+‖g‖（三角不等式）；

‖f+g‖²+‖f-g‖²=2（‖f‖²+‖g‖²）（平行四边形对角线规则）；

｜＜f，g＞｜≤‖f‖·‖g‖（Shwarz不等式，内积和向量长度规则）。

在L²（R）中，称有限个函数向量｛

为线性无关的，若

，当且仅当a_k=0，k=0，1，2，…，n

成立。这是线性代数中线性无关定义的推广，可以证明，｛

线性无关的充要条件是

地球物理信息处理基础

在线性代数中讨论有限维向量空间时，有限维函数向量空间是由有限个基底向量组成的，这个空间中的任一函数向量都可由基函数的线性组合表示。然而，L²（R）是无穷维函数线性空间，L²（R）中有无穷个（按自然数排序）线性无关向量，｛

构成L²（R）的基函数族，于是

L²（R）=span｛φ_k（t）｜k=0，1，2，…｝

地球物理信息处理基础

由此可见，如果L²（R）的基函数族｛

中的基函数是相互正交（或标准正交）的，那么称｛

为正交基函数族（标准正交基）。同样，L²（R）中也有子空间的概念。设W_m和W_n是L²（R）的两个子空间，若∀f（t）∈W_m，∀g（t）∈W_n，f（t）和g（t）都是正交的，则称W_m和W_n是正交子空间，记为W_m⊥W_n。