数分题目，求高手解答，要详细过程，重谢！

Question

详细过程！一定要保证正确阿！谢谢大神！

Answer 1

1. 易见{A_n}单调递增, 又A_n ≤ M, 故{A_n}有界.{A_n}作为单调有界数列必收敛.
对任意正整数m > n, 有0 ≤ |a_m-a_n|
= |(a_m-a(m-1))+...+(a_(n+1)-a_n)|
≤ |a_m-a(m-1)|+...+|a_(n+1)-a_n| (绝对值不等式)
= A_m-A_n.
于是由Cauchy收敛准则, 可由{A_n}收敛证明{a_n}也收敛 (这步不难, 你自己写一下).

2. 用反证法, 假设inf{|x-y| : x ∈ A, y ∈ B} = 0.
由inf的定义, 存在A中点列{x_n}与B中点列{y_n}, 使|x_n-y_n|趋于0.
而由A是紧集, 不妨设{x_n}在A中收敛 (否则取{x_n}的收敛子列, 并取{y_n}的对应子列).
设x_n收敛到a ∈ A, 即有|a-x_n|趋于0.
于是由0 ≤ |a-y_n| ≤ |a-x_n|+|x_n-y_n|知|a-y_n|也趋于0, 即{y_n}也收敛到a.
而B是闭集, 故a作为B中点列的极限点有a ∈ B.
即得a ∈ A∩B = ∅, 矛盾.

3. 这里的Weierstrass定理应该是"有界数列必有收敛子列"吧.
先证明连续函数在闭区间上的取值有上界.
用反证法, 假设不存在上界, 则存在[a,b]中的点列{x_n}, 使f(x_n)趋于+∞.
由Weierstrass定理, 不妨设{x_n}收敛 (否则取{x_n}的收敛子列).
设x_n收敛于c, 可知c ∈ [a,b], f(x)在c连续.
于是f(x_n)收敛到f(c), 与f(x_n)趋于+∞矛盾.
因此{f(x) : x ∈ [a,b]}有上界.

{f(x) : x ∈ [a,b]}非空且有上界, 从而有上确界, 设M = sup{f(x) : x ∈ [a,b]}.
由sup的定义, 存在[a,b]中点列{y_n}, 使f(y_n)收敛到M.
同上, 不妨设{y_n}收敛于d ∈ [a,b].
由f(x)在d连续, 有M = lim f(y_n) = f(lim y_n) = f(d).
又M是{f(x) : x ∈ [a,b]}的一个上界, 故f(x)在d处取得最大值.

4. 设a是E的唯一极限点.
定义E_δ = E-(a-δ,a+δ) (即E与(a-δ,a+δ)的余集之交).
断言对任意δ > 0, E_δ是一个至多有限集.
若不然, 假设E_δ是无限集, 由其有界, 故存在极限点b.
但显然|b-a| ≥ δ, E存在极限点b ≠ a, 矛盾.
注意到E-{a}可表示为可数个集合的并集E-{a} = ∪E_(1/k), 其中k取遍全体正整数.
可数个有限集之并仍可数, 故E-{a}可数, 从而E也可数.

不清楚你的程度, 所以可能详略不当.
有疑问请追问.