1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+.n=（1+n）n/2。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+.n这是一个以1为首项，公差为1的等差数列求和。
n>=2时，an-an-1=n-(n-1)=n-n+1=1(常数）
这个数列是以a1=1为首项，1为公差的等差数列。
Sn=na1+n(n-1)/2d=nx1+n(n-1)/2x1=n+n(n-1)/2=(2n+n^2-n)/2=(n^2+n)/2=（1+n）n/2。
扩展资料：
等差数列的一些公式：
（1）通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。
（2）前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。
（3）末项=2x和÷项数-首项。
（4）末项=首项+（项数-1）×公差。
（5）2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
参考资料：百度百科-等差数列